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首页 > 高中频道 > 竞赛联赛知识 > 几个重要不等式(一)

几个重要不等式(一)

2009-08-29 21:36:08网络来源

  几个重要不等式(一)

  一、平均值不等式

  设a1,a2,…,an是n个正实数,则,当且仅当a1=a2=…=an时取等号

  1.二维平均值不等式的变形

  (1)对实数a,b有a2+b232ab(2)对正实数a,b有

  (3)对b>0,有,(4)对ab2>0有,

  (5)对实数a,b有a(a-b)3b(a-b)(6)对a>0,有

  (7)对a>0,有(8)对实数a,b有a232ab-b2

  (9)对实数a,b及l10,有

  二、例题选讲

  例1.证明柯西不等式

  证明:法一、若或命题显然成立,对10且10,取

  代入(9)得有

  两边平方得

  法二、,即二次式不等式恒成立

  则判别式

  例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明:

  (1)

  (2)

  证明:(1)左=[]

  =

  3

  (2)由知

  同理:

  相加得:左3

  例3.求证:

  证明:法一、取,有

  a1(a1-b)3b(a1-b),a2(a2-b)3b(a2-b),…,an(an-b)3b(an-b)

  相加得(a12+a22+…+an2)-(a1+a2+…+an)b3b[(a1+a2+…+an)-nb]30

  所以

  法二、由柯西不等式得:(a1+a2+…+an)2=((a1×1+a2×1+…+an×1)2£(a12+a22+…+an2)(12+12+…+12)

  =(a12+a22+…+an2)n,

  所以原不等式成立

  例4.已知a1,a2,…,an是正实数,且a1+a2+…+an<1,证明:

  证明:设1-(a1+a2+…+an)=an+1>0,

  则原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)

  1-a1=a2+a3+…+an+13n

  1-a2=a1+a3+…+an+13n

  …………………………………………

  1-an+1=a1+a1+…+an3n

  相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)3nn+1

  例5.对于正整数n,求证:

  证明:法一、

  >

  法二、左=

  =

  例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数,且,求证:

  (1)

  (2)

  证明:(1)

  相乘左边3=(n2+1)n

  证明(2)

  左边=-n+2(

  =-n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](

  3-n+2×n

 

[标签:不等式]

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