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覆盖

2009-08-31 11:11:33网络来源

一个半径为1的单位圆显然是可以盖住一个半径为的圆的.反过来则不然,一个半径为的圆无法盖住单位圆.那么两个半径为的圆能否盖住呢?不妨动手实验一下,不行.为什么不行?需几个这样的小圆方能盖住大圆?……,这里我们讨论的就是覆盖问题,它是我们经常遇到的一类有趣而又困难的问题.

定义  设G和F是两个平面图形.如果图形F或由图形F经过有限次的平移、旋转、对称等变换扣得到的大小形状不变的图形F′上的每一点都在图形G上.我们就说图形G覆盖图形F;反之,如果图形F或F′上至少存在一点不在G上,我们就说图形G不能覆盖图形F.

关于图形覆盖,下述性质是十分明显的:

(1)   图形G覆盖自身;

(2)   图形G覆盖图形E,图形E覆盖图形F,则图形G覆盖图形F.

1.最简单情形――用一个圆覆盖一个图形.

首先根据覆盖和圆的定义及性质即可得到:

定理1  如果能在图形F所在平面上找到一点O,使得图形F中的每一点与O的距离都不大于定长r,则F可被一半径为r的圆所覆盖.

定理2  对于二定点A、B及定角α若图形F中的每点都在AB同侧,且对A、B视角不小于α,则图形F被以AB为弦,对AB视角等于α的弓形G所覆盖.

在用圆去覆盖图形的有关问题的研究中,上述二定理应用十分广泛.

例1 求证:(1)周长为2l的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖.

(2)桌面上放有一丝线做成的线圈,它的周长是2l,不管线圈形状如何,都可以被个半径为的圆纸片所覆盖.

分析  (1)关键在于圆心位置,考虑到平行四边形是中心对称图形,可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合.

(2)"曲"化"直".对比(1),应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心.

证明  (1)如图45-1,设ABCD的周长为2l,BD≤AC,AC、BD交于O,P为周界上任意一点,不妨设在AB上,则

∠1≤∠2≤∠3,

有OP≤OA.

又AC<AB+BC=l,

故OA<

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心;半径为的圆所覆盖,命题得证.

(2)如图45-2,在线圈上分别取点R,Q,使R、Q将线圈分成等长两段,每段各长l.又设RQ中点为G,M为线圈耻任意一点,连MR、MQ,则

因此,以G为圆心,长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈.

例2△ABC的最大边长是a,则这个三角形可被一半径为的圆所覆盖.

分析  a为最大边,所对角A满足60°≤A<180°.

证明 不妨设BC=a,以BC为弦,在A点所在一侧作含60°角的弓形弧(图45-3).因60°≤A≤180°,故根据定理2,△ABC可被该弓形所覆盖.

由正弦定理,弓形相应半径r=,所以△ABC可被半径为的圆所覆

盖.

显然覆盖△ABC的圆有无穷多个,那么半径为的圆是否是最小的覆盖圆呢?事实并不

尽然.

例3 △ABC的最大边BC等于a,试求出覆盖△ABC的最小圆.

解 分三种情形进行讨论:

(1)   ∠A为钝角,以BC为直径作圆即可覆盖△ABC.

(2)   ∠A是直角,同样以BC为直径作圆即可覆盖△ABC;

(3)∠A是锐角.假若⊙O覆盖△ABC,我们可在⊙O内平移△ABC,使一个顶点B落到圆周上,再经过适当旋转,使另一个顶点落在圆周上,此时第三个顶点A在⊙O内或其圆周上,设BC所对圆周角为α,那么∠BAC≥α,设⊙O直径d,△ABC外接圆直径d,那么

所以对于锐角三角形ABC,最小覆盖圆是它的外接圆.

今后我们称覆盖图形F的圆中最小的一个为F的最小覆盖圆.最小覆盖圆的半径叫做图形F的覆盖半径.

综合例2、例3,即知△ABC中,若a为最大边,则△ABC的覆盖半径r满足

2.一个图形F能否被覆盖,与图形中任意两点间的距离最大值d密切相关.

以下我们称图形F中任意两点间的距离最大值d为图形F的直径.

我们继续研究多个圆覆盖一个图形问题.

定义  对于图形G,G,…,G,若图形F中的每一点都被这组图形中的某个所覆盖,则称这几个图形覆盖图形F.

图形G,G,…,G为n个圆是一特殊情形.

例4  以ABCD的边为直径向平行四边形内作四个半圆,证明这四个半圆一定覆盖整个平行四边形.

分析1 ABCD的每一点至少被某个半圆所盖住.

证明1 用反证法.如图45-4设存在一点P在以AB、BC、CD、DA为直径的圆外,根据定理二,∠APB,∠BPC,∠CPD∠DPA均小于90°,从而

∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA<360°.

与四角和应为周角相矛盾.故P应被其中一半圆盖住,即所作四个半圆覆盖ABCD.

分析2 划片包干,如图45-5,将ABCD分为若干部分,使每一部分分别都被上述四个半圆所覆盖.

证明2  在ABCD中,如图45-5,设AC≥BD.分别过B、D引垂线BE、DF垂直AC,交AC于E、F,将ABCD分成四个直角三角形,△ABE、△BCE、△CDF、△DAF.每一个直角三角形恰好被一半圆所覆盖,从而整个四边形被四个半圆所覆盖.

上述结论可推广到任意四边形,留给读者考虑.

例5  求证:一个直径为1的圆不能被两个直径小于1的圆所覆盖.

证明  如图45-6,先考虑其中一个小圆即⊙O去覆盖大圆O,连O、O过O作AB⊥OO,AB为⊙O的直径(若O、O重合,那么AB为任意直径)此时

故A、B两点都不能被⊙O盖住.至于另一小圆⊙O无疑不能同时盖住A、B两点,故⊙O、⊙O不能覆盖⊙O.

事实上,我们还可以从另一角度给予证明.那就是一个小圆无法覆盖半个大圆,因此两个小圆也就不可能覆盖住整个大圆了.

现在,我们着手研究本文一开始就提出的问题.

例6  给定一个半径为1的圆,若用半径为的圆去覆盖它,问至少要几个才能盖住.

问题需要我们在二个方面给予回答:一是所确定数目的小圆足以覆盖大圆;二是少于确定的数目,则全部小圆不能覆盖大圆.

对于不能覆盖的推断,以下两个原则是常用的:

原则1  若图形F的面积大于图形G的面积,则图形G不能覆盖图形F.

原则2  直径为d的图形F不能被直径小于d的图形G所覆盖.

两原则十分显然,不再证明.

四个半径为的小圆面积和为π,恰等于大圆面积,而四小圆间若不重迭,则覆盖其它图形时,还须排除中间所夹的不属于四圆的部分,换句话说,四小圆所覆盖大圆部分面积必小于大圆自身面积,根据法则1,不可能覆盖大圆,少于四个小圆更不可能.

若有五个小圆,我们改变角度考虑,可将大圆周分为六等分.因小圆直径为1,五个小圆无法盖住大圆周,而六个圆周恰好盖住.

还需考虑大圆圆心没有被盖住,再添加一个小圆,符合要求!

这说明:至少七个以为半径的小圆方能覆覆盖半径为1的一个大圆.事实上这样的六个小圆若盖住大圆周,则大圆心不能被覆盖.若其中一小圆盖住大圆圆心,那么该圆又至多盖住大圆周上一点也就是六个小圆无法覆盖大圆,而我们作大圆的内接正六边形,分别将小圆圆心与各边中点重合,再将第七个小圆圆心与大圆圆心重合即可盖住大圆,如图45-7,以下给出证明:

对于正△OAB,设OA、OB中点A、B,那么∠AAB=∠ABB=90°,故四边形AAB被以AB为直径的圆覆盖.另外,△OA被小圆⊙O所覆盖.类似地可推得七个小圆覆盖整个大圆.

3.直线形图形覆盖别的图形的问题

解决直线形图形覆盖别的图形的问题,常须较高的智巧,一般的处理方法是通过构造过渡图形,逐步调整,最终获得问题的解决.

例7 证明直径为1的图形F可被单位正方形覆盖.

分析  先后用互相垂直的两对平行线将图形夹在中间,再向内收缩.

证明  取位于水平方向和铅直方向的两对平行直线将图形F夹在中间,再将位于下方的直线l向上平移,直至遇到图形F上点为止,中图45-8中l′处.接着又将l向下平移至与l′相距为1的l′处止.因图形F直径为1.故图形F仍被二直线l′,l′所夹.同样采用先左后右的顺序,将沿直线m、m平移至m′、m′处,m′、m′相距为1,而图形F依然夹在直线m′,m′中间,从而直线l′、l′、m′、m′所围成单位正方形即可覆盖图形F.

运用上述方法,我们可进一步解决以下问题:

例8  直径为1的图形F可被一个边长为的正三角形覆盖,试证明之.

证明  作三对相距为1的平行直线m、m、n、n,l、l,相交直线所成角为60°,围成可覆盖图形F的六边形及正△A,正△A(具体作法可参照例7).如图45-9.设P为F中任意一点,它到六边形各边距离依次为x、a、y、b、z、c.又设正△A的高为h,正△A­2的高为h.因正三角形内一点到三边距离和等于正三角形的高,得

a+b+c=h

x+y+z=h

相加,得

(x+b)+(y+c)+(z+a)=h+h

又x+b=1,y+c=1,z+a=1,

∴h+h=3.

根据抽屉原则,h、h中有一不大于,不妨设,即正△ABC的高不大于,那么它的边长

因此图形F可被边长不大于的正三角形即正△A1所覆盖.

4.图形的嵌入是覆盖问题的一种重要变化形式

所谓图形F能嵌入图形G,其本质就是图形G能覆盖图形F.

例9试证面积为S、周长为P的四边形一定可嵌入一个半径为的圆.

分析 四边形内存在到各边距离不小于的点.

证明  如图45-10,设四边形ABCD面积为S,周长为P.各边长分别为a1、a、a、a.现以a、a、a、a为长,为宽,向四边形内侧作矩形,则这些矩形总面积是

即四个矩形面积总和等于四边形面积.由于这四个矩形有重迭部分,所以四边形内部存在点O没有被矩形覆盖,那么以点O为圆心,为半径的圆可嵌入四边形ABCD中.

例10 在一个半径等于18的圆中已嵌入16个半径为3的圆.证明在余下的部分中还能嵌入9个半径为1的圆.

证明  首先证明大圆中还能嵌入1个半径为1的小圆.先将大圆的半径收缩为17,而将半径为3的圆膨胀成半径为4的圆,此时大圆面积变为

π×172=289π.

16个半径为4的圆的面积是

π×42×16=256π.

289π-256π=33π.

这说明大圆中嵌入16个半径为3的圆外,还能嵌入半径为1的一个小圆,如图45-11所示.

再将大圆的半径收缩为17,半径为3的圆的半径膨胀为4,半径为1的圆膨胀为2,由于

289π-256π-4π=29π,所以大圆中除嵌入16个半径为3的圆外,还能嵌入两个半径为1的圆.依此类推,由于289π-256π-4π×8=π>0,

故大圆还可嵌入九个半径为1的小圆.

将图形收缩、膨胀是解嵌入问题一种重要方法.

 

[标签:图形]

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