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2000年全国高中数学联赛试题

2009-08-31 12:11:28网络来源

一、       选择题(本题满分36分,每小题6分)

1.设全集是实数,若A={x|≤0},B={x|=},则是(   )
(A){2}   (B){-1}     (C){x|x≤2}     (D)

2.设sina>0,cosa<0,且sin>cos,则的取值范围是(   )
(A)(2kp+,2kp+), kÎZ       (B)(+,+),kÎZ
(C)(2kp+,2kp+p),kÎZ      (D)(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),kÎZ

3.已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是(   )
(A)     (B)      (C)3      (D)6

4.给定正数p,q,a,b,c,其中p¹q,若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx2-2ax+c=0(   )
(A)无实根  (B)有两个相等实根  (C)有两个同号相异实根  (D)有两个异号实根

5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线的距离中的最小值是(   )
(A)     (B)     (C)     (D)

6.设,则以w,w3,w7,w9为根的方程是(   )
(A)x4+x3+x2+x+1=0         (B) x4-x3+x2-x+1=0
(C) x4-x3-x2+x+1=0         (D) x4+x3+x2-x-1=0

二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

7.arcsin(sin2000°)=__________.

8.设an是(3-的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则)=________.

9.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.

10.      在椭圆(ab>0)中,记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是,则∠ABF=_________.

11.      一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是________.

12.      如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};(2)a¹b,b¹c,c¹d,d¹a;(3)aa,b,c,d中的最小值,    那么,可以组成的不同的四位数的个数是_________.

三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

13.      设Sn=1+2+3+…+n,nÎN,求f(n)=的最大值.

14.      若函数在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b,求[a,b].

15.      已知C0:x2+y2=1和C1:(ab>0)。试问:当且仅当a,b满足什么条件时,对C1上任意一点P,均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形?并证明你的结论。

【加试】(10月15日上午10∶00-12∶00)

一.(本题满分50分)

如图,在锐角三角形ABCBC边上有两点EF,满足∠BAE=∠CAF,作FMABFNACMN是垂足),延长AE交三角形ABC的外接圆于D.证明:四边形AMDN与三角形ABC的面积相等.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

二.(本题满分50分)

设数列{a n}和{b n }满足,且

证明a n(n=0,1,2,…)是完全平方数.

 

 

 

 

 

三.(本题满分50分)

n个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意n-2个人之间通电话的次数相等,都是3 k次,其中k是自然数,求n的所有可能值.

[标签:数学联赛 试题 试卷]

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