二○○一年全国高中数学联合竞赛试题

考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分．

2、用圆珠笔或钢笔作答．

3、解题书写不要超出装订线．

4、不能使用计算器．

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

　　　 本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．

1．已知a为给定的实数，那么集合M={x| x²-3x-a²+2=0，x∈R}的子集的个数为

（A）　 1　　　　　 （B）　 2　　　　　 （C）　 4　　　　　 （D）　 不确定

【答】（　　　　　　 ）

2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;

命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点;

　 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点.

以上三个命题中正确的有　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　

（A） 0个　　 （B） 1个　　 （C） 2个　 （D） 3个

【答】（　　　　　　 ）

3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在（0，）上单调递增的偶函数是　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A）　 y=sin|x|　 （B） y=cos|x|　　　 （C）　 y=|ctgx|　　　　 （D）　 y=lg|sinx|

【答】（　　　　　　 ）

4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是

（A） k= （B） 0<k≤12 　 （C） k≥12　　 　 （D） 0<k≤12或k=

【答】（　　　　　　 ）

5．若的展开式为，则的值为

（A）　 　 （B） 　　（C） 　　（D） 　

【答】（　　　　　　 ）

6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是

（A）　 2枝玫瑰价格高　　　　　　　 （B）　 3枝康乃馨价格高

（C）　 价格相同　　　　　　　　　　　　 （D）　 不确定

【答】（　　　　　　 ）

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．

7．椭圆的短轴长等于　　　　　　 ．

8．若复数z₁，z₂满足| z₁|=2，| z₂|=3，3z₁-2z₂=，则z₁·z₂=　　　　　　 ．

9．正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则直线A₁C₁与BD₁的距离是　　　　　 ．

10. 不等式的解集为　 　　　　．

11．函数的值域为　　　　　　 ．

12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有　　　　　　 种栽种方案．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13．设{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，且b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²（a₁<a₂） ，又．试求{a_n}的首项与公差．

14．设曲线C₁：（a为正常数）与C₂：y²=2（x+m） 在x轴上方仅有一个公共点P．

⑴ 求实数m的取值范围（用a表示）；

⑵ O为原点，若C₁与x轴的负半轴交于点A，当0<a<时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a表示）．

15．用电阻值分别为a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆ (a₁>a₂>a₃>a₄>a₅>a₆) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．