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27届美国数学奥林匹克竞赛

2009-08-31 12:21:18网络来源

27届美国数学奥林匹克竞赛
 

 

第一部分(上午9:00-12:00

1998年4月28

 

1.已知:集合{1、2、…..1998},把其中的元素两两一组分成不同的数组{ai,bi}(1≤i≤999),

       使得对于所有i都有| ai - bi| 等于1或6。

求证:| a1 – b1|+| a2- b2|+。。。+| a999 – b999|的和的各位数为9。

2.已知:c1、c2为同心圆c2在c1内部,过A点做c2的切线AC,切点为B,D是AB中点,直线AE与圆c2交于E、F,使得线段DE、CF的垂直平分线的交点M在直线AB上。(下为参考图)

  求:AM/MC并写出理由。

3.已知:数a0,a1,。。。an属于(0,π/2),

且tan(a0—π/4)+ tan(a1—π/4)+。。。+ tan(an—π/4)≥n—1。

  求证:tan a0 tan a1 ···tan an≥n n—1

 

第二部分(下午1:00-4:00

1998年4月28

4.设想:计算机屏幕上有一个98×98的国际象棋棋盘(黑白相间),你可以按住鼠标左键拖动鼠标选定任意区域的方格,点击右键可使在你选定区域内的所有方格的颜色发生改变(黑的变白,白的变黑)。求:把棋盘所有方格变为同一种颜色所需点击鼠标的最少次数,并证明。

5.求证:存在包含n(n≥2)个整数的集合S,使(a—b)2整除ab,其中a、b∈S。

6.对于凸多边形A1A2。。。An(其中n≥5),有k(k是n的一个函数)个四边形AiAi+1Ai+2Ai+3

存在内切圆,试求整数k的最大值。(这里:An+j=Aj

 

[标签:数学竞赛 奥林匹克 竞赛 竞赛联赛]

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