27届美国数学奥林匹克竞赛

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第一部分（上午9：00-12：00） 1998年4月28   1．已知：集合{1、2、…..1998}，把其中的元素两两一组分成不同的数组{ai，bi}（1≤i≤999）， 　　　　　　 使得对于所有i都有| ai - bi| 等于1或6。 求证：| a1 – b1|+| a2- b2|+。。。+| a999 – b999|的和的各位数为9。 2．已知：c1、c2为同心圆c2在c1内部，过A点做c2的切线AC，切点为B，D是AB中点，直线AE与圆c2交于E、F，使得线段DE、CF的垂直平分线的交点M在直线AB上。（下为参考图） 　 求：AM/MC并写出理由。 3．已知：数a0，a1，。。。an属于（0，π/2）， 且tan（a0—π/4）+ tan（a1—π/4）+。。。+ tan（an—π/4）≥n—1。 　 求证：tan a0 tan a1 ···tan an≥n n—1。   第二部分（下午1：00-4：00） 1998年4月28 4．设想：计算机屏幕上有一个98×98的国际象棋棋盘（黑白相间），你可以按住鼠标左键拖动鼠标选定任意区域的方格，点击右键可使在你选定区域内的所有方格的颜色发生改变（黑的变白，白的变黑）。求：把棋盘所有方格变为同一种颜色所需点击鼠标的最少次数，并证明。 5．求证：存在包含n（n≥2）个整数的集合S，使（a—b）2整除ab，其中a、b∈S。 6．对于凸多边形A1A2。。。An（其中n≥5），有k（k是n的一个函数）个四边形AiAi+1Ai+2Ai+3 存在内切圆，试求整数k的最大值。（这里：An+j=Aj）