2019年高考数学总复习专练：函数的周期性

　　高考数学总复习:周期性

　　周期性

　　常用周期公式：

　　f(x+a)=f(x):T=a；         f(x+a)=-f(x):T=2a;       f(x+a)=f(x+b):T= ；

　　f(x+a)= :T=2a；       f(x+a)=- :T=2a;

　　考点一、周期性证明

　　1.（1）已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x-m),求证:2m是f(x)的一个周期

　　证明：f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]＝f[(x＋m)-m]＝f(x)，则f(x)是以2m为周期的周期函数.

　　（2） 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.

　　证明：f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m] ＝－f(x＋m) ＝f(x)，则f(x)是以2m为周期的周期函数.

　　（3）f(x)+f(x+5)=16,求周期。

　　解：用x+5替换上面的x，则f（x+5）+f（x+10）=16两式相减的f（x）=f（x+10）

　　所以周期为10。

　　考点二。周期性应用

　　2.（1)已知f(x)为奇函数， ，且f(x+2)=f(x)+f(2),求f(5).

　　解：f(-1+2)=f(-1)+f(2)，则f(2)=1,

　　f(5)=f(3+2)=f(3)+f(2)=f(1+2)+f(2)=f(1)+2f(2)=f(-1)+3f(2)=-f(1)+3f(2)= .

　　（2）已知 是周期为4的偶函数，当 时， ，求 ， 。

　　解： ，

　　，  。

　　（3）设偶函数 对任意 ，都有f(x+3)=- ，且当 时， ,则 的值为(    )    A.            B.         C.          D.

　　解：

　　（4）已知f(x)f(x+2)=13,若f(1)=2,求f(99).

　　解： ，则周期为4，f(99)=f(3)=f(-1)= = .

　　（5）已知定义在 上的奇函数 ，满足 ,且在区间 上是增函数，则(    )

　　A.             B.

　　C.              D.

　　解：∵ ，∴ ，∴ ，

　　∴ 的周期为  ，∴ ， ， ，又∵奇函数 在区间 上是增函数，∴ 在区间 上是增函数，∴ ，故选D.

　　3.（1）已知定义在 上的函数  满足  ，且 ， ，则 … （    ）   A． 　   B．     C．   D． 解:函数 的周期是 ，∴  ，

　　∴ …

　　．

　　（2）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时， ；当 时，  ，则f(6)= （   ）

　　A.?2             B.?1          C.0            D.2

　　解：由题知，周期为1，.则f(6)=f(1)=-f(-1)=2.

　　（3）若f(1)= ,  4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x－y),   求f(2015)的值。

　　解：取x=1,y=0代入解得f(0)=1/2则当x=1,y=1时,解得f(2)=f(1)-f(0)=-1/4；当x=2,y=1时,解得f(3)=f(2)-f(1)=-1/2；当x=3,y=1时,解得f(4)=f(3)-f(2)=-1/4；当x=4,y=1时,解得f(5)=f(4)-f(3)=1/4；当x=5,y=1时,解得f(6)=f(5)-f(4)=1/2；当x=6,y=1时,解得f(7)=f(6)-f(5)=1/4；6个一循环2015÷6=370余5 ， f(2015)=f(5)=1/4。

　　（4）已知函数f（x-1）为奇函数，函数f（x+3）为偶函数，f（0）=1，求f（56）。

　　解：∵函数f（x+3）为偶函数， ∴f（x+3）=f（-x+3），∴f（8）=f（5+3）=f（-5+3）=f（-2）；又函数f（x-1）为奇函数，f（0）=1，∴f（-2）=f（-1-1）=-f（1-1）=-f（0）=-1，    ∴f（8）=-1．周期为16，则f(56)=-1。

　　考点三。对称轴

　　注意：f(x＋m)＝f(x-m)与f(m ＋x)＝f(m-x)的区别，

　　f(m+x)=f(n-x) 是f(x)图像的对称轴;

　　f(x)+f(2a-x)=2b 关于（a,b）对称；

　　4.已知f(1+x)=f(-x)，且当 时， ，求f(x)在 上的最大值与最小值之和。

　　解：对称轴 ，由图像知：f(x)在 上单调递减，

　　则f(x)max+f(x)min=f(-2)+f(0)=f(3)+f(1)= =4.