2019年高考数学总复习专练:函数单调性
来源:网络资源 2018-10-19 19:54:56
高考数学总复习:函数单调性
专题一 函数单调性
单调性
增+增=增; 减+减=减;(增*增,减*减,增*减,增/减单调性不确定)
考点一.定义法判断函数的单调性
(1)讨论函数f(x)=axx2-1(a>0)的单调性.
解:由x2-1≠0,得x≠±1,即定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).
① 设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=ax1x21-1-ax2x22-1=ax1x22-ax1-ax2x21+ax2?x21-1??x22-1?=a?x2-x1??x1x2+1??x21-1??x22-1?
∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x21-1)(x22-1)>0.又a>0,∴f(x1)-f(x2)>0,减函数;
②设1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=ax1x21-1-ax2x22-1=a?x2-x1??x1x2+1??x21-1??x22-1?,∵1<x1<x2,∴x21-1>0,x22-1>0,x2-x1>0,x1x2+1>0.∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴减函数;
又函数f(x)是奇函数,∴f(x)在(-∞,-1)上是减函数.则为减函数。
考点二.抽象函数单调性
(1)已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,判断f(x)单调性.
解:在R上任取x1,x2, 不妨设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2).又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2).因此f(x)在R上是减函数.
考点三.求单调区间.
命题点1:图像法
(1)分段函数:
(1)f(x)= ; 解:
(2)设函数f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g(x)=x2f(x-1);
解: g(x)=x2,x>1,0,x=1,-x2,x<1.如图所示,其递减区间是[0,1).
(1)绝对值函数:
(1)y=|-x2+2x+3|; 解: .
(2)y=-x2+2|x|+3; 解:在(-∞,-1],[0,1]上是增函数,在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.
(3) ; 解: ,增:(-2,0)和 ;减: 和 。
(4) (零点分段法); 解: ,增: ;减: 。
(3)对号函数:
(1) ; 解:增: ;减: 。
命题点2:复合函数:
(1)y= x2+x-6 ;
解:令u=x2+x-6,y= x2+x-6∴y= x2+x-6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞).
(2)y=log2(x2-1);
解:y=log2(x2-1)定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
∴当x∈(-∞,-1)时,y=log2(x2-1)为减函数,当x∈(1,+∞)时,y=log2(x2-1)为增函数.
(3)y=log (x2-3x+2)
解:令u=x2-3x+2,则y=log u.令u=x2-3x+2>0,则x<1或x>2.
故y=log (x2-3x+2)的单调减区间为(2,+∞),单调增区间为(-∞,1).
(4)y= +5
解:令t= ,则y= +3t+5 , y= +3t+5递增区间:(- , ) 递减区间:( - , - ), >0恒成立,所以原函数在定义域递增。
考点四.由单调性比大小。
(1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f-12,b=f(2),c=f(3),比较a,b,c的大小。
解: 函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数.a=f-12=f52,所以b>a>c.
(2)比较: 的大小。
解:比较两个指数幂大小时,尽量化同底数或同指数,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小.故 。
(3)已知 ,比较a= ,b= ,c= 大小。
解:a与b可利用 单调递减, , b>a,又a与c可利用y=x单调递增, ,则a>c,故b>a>c.
(4)比大小: ①log323与log565; ②log1.10.7与log1.20.7.
解:(1)①∵log323<log31=0,而log565>log51=0,∴log323<log565.
②作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象,如图所示,两图象与x=0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7.
考点五。二次函数单调性求参数
(1)若f(x)=-x2+2ax在区间[1,2]上是减函数,求a的取值范围。
解: 利用二次函数动轴定区间,∴a≤1.
(2)若f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间 上是增函数,求a的取值范围。
解: 利用二次函数动轴定区间,∴1-a≤4,则a》-3.
考点六。分段函数单调性求参数
(1)已知 单调递增区间为: ,求a的值。
解:由绝对值图像2x+a=0,则a=-2x=-6.
(2)若f(x)= ,是R上的单调递减函数,求a的取值范围。
解:由已知得 解得a∈ .
(3)若f(x)= ,是R上的单调递增函数,求a的取值范围。
解:由已知得 解得a∈ .
(4)若f(x)=ax?x>1?,4-a2x+2?x≤1?是R上的单调递增函数,求a的取值范围。
解:由已知得a>1,4-a2>0,a≥4-a2+2,解得a∈[4,8).
(5)已知f(x)= 满足对任意的实数x1≠x2都有 <0成立,求a的取值范围。
解:R上为减函数,只需满足3a-1<0,0<a<1,?3a-1?×1+4a≥loga1,解得17≤a<13.
考点七,单调性与解不等式
(1)已知f(x)在R上单调递减,且 ,求x的取值范围。
解:由单调性知: ,则 ,即-1<x<1且x 0.
(2)若 ,且 ,求a的取值范围。
解:画分段函数图象知f(x)为单调递增函数,则 ,解的-2<a<1.
(3)已知f(x)是定义在(-1,1)上减函数,且 ,求a的取值范围。
解: 。
考点七。单调性与恒成立
(1)g(x)=ax+1在区间[1,2]上是减函数,求a的取值范围。
解: 《0在[1,2]上恒成立,则-a《0,当a=0时,函数不单调,(舍),即a>0.
(2)已知 ,对任意 ,都有f(x)>0恒成立,求a的取值范围。
解:由题知: 。
(3)已知 ,对任意 ,都有f(x)>0恒成立,求a的取值范围。
解:当a=0时,1>0成立;
当 , ;综上: 。
(4)已知函数f(x)=x2+2x+ax,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
解:f(x)=x+ax+2,x∈[1,+∞).要使f(x)>0在x∈[1,+∞)上恒成立,只需a>- -2x,即a>-3.
(5)已知 ,对任意 ,都有f(x)>0恒成立,求a的取值范围。
解:对任意 , >0恒成立,则 ,
令 , ;
(6)函数 在 上是增函数,求 的取值范围.
解:令 ,函数 在 上是增函数,∴ 在 上是增函数, ,∴ 且 在 上恒成立,得 .
(7)若函数 在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )
解: 》0恒成立,则 设t=cosx,即 ;
当t=0时,不等式显然成立;
则 。方法二:(acosx)min=-|a|, 。
(8)f(x)= +alnx,对于任意的 > , 成立,求a的取值范围。
解:定义域x>0, 等价于 ,即 ,
令g(x)=f(x)-2x,单调递增,则 恒成立,即a》2x-2 ,故 。
(9)f(x)在R上是单调函数,对任意的x都有 恒成立,求 值。
解:令 ,则f(t)= .因f(x)在R上是单调函数,所以t=常数,即 恒为常数,则取x=t,即 。求得t=1,故t= + = +1=1,所以 =0
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