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2019年高考数学总复习专练:导数的单调性

来源:网络资源 2018-10-19 19:56:01

  高考数学总复习: 导数的单调性

  考点一:求单调区间

  1. 求单调区间:(1 )f(x)=x3-x2- x;     (2) ;        (3) ;

  (4) ;               (5) ;

  解:(1) (x)=3(x+ )(x-1)∴f(x)单增区间为(-∞,- )和(1,+∞),减区间为(- ,1);

  (2) ;

  (3) (4)定义域:x>0, , ;(5) ;

  考点二.求含参函数的单调区间

  2.求单调区间:

  (1)已知函数 .求函数 的单调区间;

  解:函数 的定义域为 . :

  ①当-a《0,即 时,  , 的单调递增区间为 ;

  ②当-a>0,即 时 . 函数 的单调 递减区 间是 ;单调递增区间是 .

  (2)已知 .?求 的单调增区间;?

  解:∵  .?(1)若 , 恒成立,即 在 上递增.?

  若 , ,∴ ,  .∴ 的单调递增区间为 .?

  (3)已知函数 ,求 的单调区间.

  解: ,

  ①若 ,即a=0,函数 在R上单调递增,

  ②若 ,即a<0,在 单调递减,在 上单调递增.

  ③ 若 ,即a>0, 在 单调递减,在 上单调递增.

  (4)已知函数 .当 时,求 的单调区间.

  解: ∵ ,∴     ,

  令

  当 时, ,∴ 时, ,此时 ,函数 单调递减,

  时, ,此时 ,函数 单调递增,

  当 时,由 ,解得 ,

  ①若 ,即 ,函数 在 上单调递减,

  ②若 ,即 ,在 单调递减,在 上单调递增.

  ③ 若 ,即a (舍)或a<0,  时, ,此时 ,函数 单调递减;

  时, ,此时函数 ,函数 单调递增.

  (5)已知函数f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2,讨论f(x)的单调性.

  解:(Ⅰ) f '(x)=(x -1)ex+a(2x -2)=(x -1)(ex+2a).  x∈R

  (1)当a≥0时,在(-∞,1)上,f '(x)<0,f(x)单调递减;

  在(1,+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增。

  (2)当a<0时,令f '(x)=0,解得x =1或x=ln(-2a).

  ①若a= ,ln(-2a) =1,f '(x)≥0恒成立,所以f(x)在(-∞,+ ∞)上单调递增。

  ②若a> ,ln(-2a)<1,在(ln(-2a),1)上,f '(x)<0,f(x)单调递减;

  在(-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增。

  ③若a< ,ln(-2a)>1,在(1,ln(-2a))上,f '(x)<0,f(x)单调递减;

  在(-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增。

  (6)已知 ,求单调递增区间。

  解:∵ , 。

  当3a=0,即a=0时,4x+1>0, 则x>-1时, 单调递增。

  当3a 0,①若 >0,即 ,当

  ②若 =0,即 ,f(x)在R上单调递增.

  ③ 若 <0,即 ,f(x)在R上单调递增.

  考点三.利用函数的单调性求参数的取值范围

  命题点1:已知单调区间求参数值。

  (1)若函数 的单调递减区间(-1,2),求b,c的值。

  解: ,

  由题: 。

  命题点2:已知单调区间求参数取值范围。

  (1)若函数y= x3- ax2+(a-1)x+1,在(1,4)为减函数,在(6,+∞)为增函数,求a的取值范围。

  解:由题:  (x)=x2-ax+a-1《0在(1,4)恒成立,则 max,故a》5,

  又  (x)=x2-ax+a-1》0在(6,+∞)恒成立,则a《(1+x)min,故a《7,∴5≤a≤7。

  (2)已知向量 在(-1,1)上单调递增,求t的取值范围。

  解: ,则t》5.

  (3)已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求实数a的取值范围。

  解:由题 (x)=3ax2+6x-1《0恒成立,则a《 ,令 min=-3,故a≤-3。

  (4)已知函数f(x)= 在R上不单调,求实数a的取值范围。

  解:由题: ,则 。

  命题点3:探究单调性存在。

  (1)已知函数 存在单调减区间,求a的取值范围。

  解:定义域:x>0.  ,要存在单减区间,只需 有解即可,

  则 。

 

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