2019年高考数学总复习专练:切线方程
来源:网络资源 2018-10-19 20:08:40
高考数学总复习: 切线方程
考点一。导数的运算
1.求下列函数的导数:
(1)y=(3x2-4x)(2x+1); (2)y=x2sin x; (3)y=3xex-2x+e; (4)y=ln xx2+1;(5)y=ln(2x-5).
解:(1)∵y=(3x2-4x)(2x+1)=6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x,∴y′=18x2-10x-4.
(2)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.
(3)y′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xexln 3+3xex-2xln 2=(ln 3+1)·(3e)x-2xln 2.
(4)y′= .
(5)令u=2x-5,y=ln u,则y′=(ln u)′u′=12x-5·2=22x-5,即y′=22x-5.
2.(1)f(x)=x(2 016+ln x),若f′(x0)=2 017,求x0的值。
(2)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,求f′(-1)的值。
解:(1)f′(x)=2 016+ln x+x×1x=2 017+ln x,又f′(x0)=2 017+ln x0=2 017,解得x0=1.
(2)f′(x)=4ax3+2bx,∵f′(x)为奇函数,且f′(1)=2,∴f′(-1)=-2.
考点二。导数的几何意义
命题点1 已知切点的切线方程问题
3.(1)求函数f(x)=ln x-2xx的图像在点(1,-2)处的切线方程。
解:(1)f′(x)=1-ln xx2,则f′(1)=1,故该切线方程为y-(-2)=x-1,即x-y-3=0.
(2)求曲线 在点 处的切线方程。
解: 在点 处斜率 ,则切线方程为 ,即 .
(3)求斜率k=2的抛物线 的切线方程。
解:设 为切点,则斜率为 . .则切点 .故切线方程为 ,即 .
(4)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为__________.
解:y′=x,y′|x=4=4,y′|x=-2=-2,∵P(4,8),Q(-2,2),∴过P, Q的切线方程分别为:y=4x-8,
y=-2x-2,联立方程解得y=-4.
(5)已知f(x)在(1,f(1))处的切线方程为: ,求 的值。解: 。
(6)已知y=x+lnx在(1,1)处的切线与 相切,求a的值。
解: , ,则切线方程为:y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,又因切线与 相切,则 , ,则 ,故a=8或a=0(舍)。
(7)已知函数f(x)=lnx+2x ,求:(1)f′(1); (2)在点P(1,f(1))处的切线方程。
解:(1)f′(x)=1x+2f′(1)曲线在(1,f(1))处切线方程的斜率k=f′(1),则f′(1)=1+2f′(1),解得f′(1)=-1,(2)f(1)=ln1+2×(-1)=-2,所以切点(1,-2),所以切线方程为:y+2=-(x-1),化简得x+y+1=0.
(8)已知f(x)满足: ,求f(x)在(1,1)处的切线方程。
解: ,令x=0,则 ,则切线方程:y=x-2.
命题点2 未知切点的切线方程问题
4.(1)求与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程。
(2)求过点(0,-1)且与f(x)=xln x相切的直线方程。
(3)求过点 且与曲线 相切的直线方程. (4)求过点 且与 相切的直线方程.
(5)求过 与曲线 相切的直线方程. (6)求过点 与 相切的直线方程。
解:(1)对y=x2求导得y′=2x.设切点坐标为(x0,x20),则切线斜率为k=2x0.
由2x0=2得x0=1,故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xln x上,∴设切点为(x0,y0).又∵f′(x)=1+ln x,∴y0=x0ln x0,y0+1=?1+ln x0?x0,解得x0=1,y0=0.∴切点为(1,0),∴f′(1)=1+ln 1=1.∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.
(3)设 为切点,则切线的斜率为 . 切线方程为 ,即 .又已知切线过点 ,把它代入上述方程,得 .
解得 ,即 .
(4)设切点为 ,则点 的坐标满足 .
因 ,故切线的方程为 .点 在切线上,则有 .化简得 ,解得 .所以,切点为 ,切线方程为 .
(5)设 为切点,则斜率为 . 切线方程为 . .过点 ,代入 .
解得 ,或 .故所求切线方程为 ,或 ,即 ,或 .
(6)设切点 ,则由 ,在点 处的斜率 ,有在点 处的切线的方程为 。又因为点 与点P(1,2)均在曲线C上,
有 ,消去 得 ,
解得 或 ,于是 或 ,所以所求切线方程为 或 。
命题点3 和切线有关的参数问题
5.(1)若曲线y=mx+ln x在点(1,m)处的切线平行于x轴,则m=________.
解:∵y′=m+1x,∴y′|x=1=m+1=0, ∴m=-1.
(2)已知f(x)=ln x,g(x)=12x2+mx+72(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图像都相切,且与f(x)图像的切点为(1,f(1)),求m的值。
解:∵f′(x)=1x,∴直线l的斜率为k=f′(1)=1.又f(1)=0,∴切线l的方程为y=x-1.
g′(x)=x+m,设直线l与g(x)的图像的切点为(x0,y0),则有x0+m=1,y0=x0-1,y0=12x20+mx0+72,m<0,
于是解得m=-2.
(3)设曲线y=(ax-1)ex在点A(x0,y1)处的切线为l1,曲线y=(1-x)e-x在点B(x0,y2)处的切线为l2,若存在x0∈0,32,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围是________.
解:由y=(ax-1)ex,得y′=aex+(ax-1)ex=(ax+a-1)ex,所以 =(ax0+a-1) .
由y=(1-x)e-x=1-xex,得y′=-ex- 1-x ex ex 2=x-2ex,所以 = .因为l1⊥l2,所以 · =-1,即(ax0+a-1) · =-1,即(ax0+a-1)·(x0-2)=-1,从而a=x0-3x20-x0-2,其中x0∈0,32,令 ,则 。
考点三。切线与坐标轴面积
6.(1)求曲线f(x)= 在点P(3,3)处的切线与坐标轴围成的面积。
解:f(x)= ,求导:f'(x)=- ,点P(3,3)处斜率k=f'(3)=-1,切线为:y-3=k(x-3)=-x+3,
切线y=-x+6,与坐标轴交点为(6,0)和(0,6),所以所求面积:S= 6*6=18.
(2)曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为________.
解:∵y′=-2e-2x,曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-2,∴切线方程为y=-2x+2,该直线与直线y=0和y=x围成的三角形,其中直线y=-2x+2与y=x的交点为A(23,23),∴三角形的面积S=12×1×23=13.
(3) y= 的切线与坐标轴围成的最大面积.
解:y'=- ,设(a, )为其上任一点,切线斜率k=- ,建立直线方程:y- =- (x-a)
令x=0,解得y轴坐标为(0,2 ),y=0,x轴上坐标(a+1,0),由三角形面积公式得s(a)= *2 *(a+1),则s'(a)=-a* =0 得:a=0,当a=0时取极大值点。在( )上就是最大值s(a)max=1。
相关推荐
高考院校库(挑大学·选专业,一步到位!)
高校分数线
专业分数线
- 日期查询