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高三模拟文科数学试题之函数与方程

来源:网络资源 2018-10-19 20:50:47

  高三模拟文数试题专题函数汇编之函数与方程含解析

  一、解答题(本大题共51小题,共612.0分)

  1.已知函数f(x)=sin2x-sin2(x- ),x∈R.

  (1)求f(x)的单调区间.

  (2)若关于x的方程2f(x)-m+1=0在区间[- , ]上有两个相异的实根,求m的取值范围.

  2.某公司生产一批A产品需要原材料500吨,每吨原材料可创造利润12万元.该公司通过设备升级,生产这批A产品所需原材料减少了x吨,且每吨原材料创造的利润提高0.5x%;若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品,每吨原材料创造的利润为12(a- x)万元(a>0).

  (Ⅰ)若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产该批A产品的利润,求x的取值范围.

  (Ⅱ)若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润,求a的最大值.

  3.已知不等式|x+3|-2x-1<0的解集为(x0,+∞)

  (Ⅰ)求x0的值;

  (Ⅱ)若函数f(x)=|x-m|+|x+ |-x0(m>0)有零点,求实数m的值.

  4.已知函数f(x)=|x-1|.若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f( ).

  5.如果定义在R上的函数f(x),对任意的x∈R,都有f(-x)≠-f(x),则称该函数是"β函数".

  (Ⅰ) 分别判断下列函数:①y=2x;②y=2x+1; ③y=x2-2x-3,是否为"β函数"?(直接写出结论)

  (Ⅱ) 若函数f(x)=sinx+cosx+a是"β函数",求实数a的取值范围;

  (Ⅲ) 已知f(x)= 是"β函数",且在R上单调递增,求所有可能的集合A与B.

  6.设函数f(x)= ,其中a∈R.

  (1)当a=2时,求函数f(x)的零点;

  (2)当a>0时,求证:函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点.

  7.已知函数f(x)=-x3+ax2+1,(a∈R)

  (1)若在f(x)的图象上横坐标为 的点处存在垂直于y轴的切线,求a的值;

  (2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点,求a取值范围;

  (3)在(1)的条件下,是否存在实数m,使得函数g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点,若存在,试出实数m的值;若不存在,说明理由.

  8.出定义在(0,+∞)上的三个函数:f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x), ,已知g(x)在x=1处取极值.

  (Ⅰ)确定函数h(x)的单调性;

  (Ⅱ)求证:当1<x<e2时,恒有 成立;

  (Ⅲ)把函数h(x)的图象向上平移6个单位得到函数h1(x)的图象,试确定函数y=g(x)-h1(x)的零点个数,并说明理由.

  9.设函数fn(x)=xn+ +c(x∈(0,+∞),n∈N*,b,c∈R).

  (1)当b=-1时,对于一切n∈N*,函数fn(x)在区间( ,1)内总存在唯一零点,求c的取值范围;

  (2)若f2(x)区间[1,2]上是单调函数,求b的取值范围;

  (3)当b=-1,c=1时,函数fn(x)在区间( ,1)内的零点为xn,判断数列x1,x2,…,xn,…的增减性,并说明理由.

  10.已知g(x)=x2-2ax+1在区间[1,3]上的值域[0,4].

  (1)求a的值;

  (2)若不等式g(2x)-ko4x≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,求实数k的取值范围;

  (3)若函数 有三个零点,求实数k的取值范围.

  11.a∈(0,3)求函数y=(x)在∈[12]上的最大;

  已知函数f(x)=x|x-|1(x∈.

  对于给定的数a,一个最的正,x∈[0,M]时,都有|fx)|≤2试求出个正数M,求它的值范围.

  12.已知函数f(x)=x2-2lnx-2ax(a∈R).

  (1)当a=0时,求函数f(x)的极值;

  (2)当x∈(1,+∞)时,试讨论关于x的方程f(x)+ax2=0实数根的个数.

  13.已知函数f(x)=ex-ax(e是自然对数的底数).

  (1)求f(x)的单调区间;

  (2)讨论关于x的方程f(x)=a的根的个数;

  (3)若a≥-1,当xf(x)≥x3- +3ax-1+m对任意x∈[0,+∞)恒成立时,m的最大值为1,求实数a的取值范围.

  14.已知函数f(x)的定义域为R,若存在常数T≠0,使得f(x)=Tf(x+T)对任意的x∈R成立,则称函数f(x)是Ω函数.

  (Ⅰ)判断函数f(x)=x,g(x)=sinπx是否是Ω函数;(只需写出结论)

  (Ⅱ)说明:请在(i)、(ii)问中选择一问解答即可,两问都作答的按选择(i)计分

  (i)求证:若函数f(x)是Ω函数,且f(x)是偶函数,则f(x)是周期函数;

  (ii)求证:若函数f(x)是Ω函数,且f(x)是奇函数,则f(x)是周期函数;

  (Ⅲ)求证:当a>1时,函数f(x)=ax一定是Ω函数.

  15.已知函数f(x)=log3 ,g(x)=-2ax+a+1,h(x)=f(x)+g(x).

  (Ⅰ)当a=-1时,证明h(x)是奇函数;

  (Ⅱ)若关于x的方程f(x)=log3g(x)有两个不等实数根,求实数a的取值范围.

  16.设函数f(x)= x3+bx2+cx(a,b,c∈R,a≠0).

  (1)若函数f(x)为奇函数,求b的值;

  (2)在(1)的条件下,若a=-3,函数f(x)在[-2,2]的值域为[-2,2],求f(x)的零点;

  (3)若不等式axf′(x)≤f(x)+1对一切x∈R恒成立,求a+b+c的取值范围.

  17.在平面直角坐标系中,设A(x1,y1),B(x2,y2).定义: ,其中α∈R+(R+表示正实数).

  (Ⅰ)设A(1,1),B(2,3),求d1(A,B)和d2(A,B)的值;

  (Ⅱ) 求证:对平面中任意两点A和B都有 ;

  (Ⅲ)设M(x,y),O为原点,记 .若0<α<β,试写出Dα与Dβ的关系(只需写出结论,不必证明).

  18.已知a∈R,函数f(x)= .

  (1)若f(2)=-3,求实数a的值;

  (2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围.

  (3)设a>0,若对任意t∈[ ,1],函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.

  19.已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=2loga(2x+t)(t∈R),a>0,且a≠1.

  (Ⅰ)若3是关于x的方程f(x)-g(x)=0的一个解,求t的值;

  (Ⅱ)当0<a<1且t=1时,解不等式f(x)≤g(x);

  (Ⅲ)若函数F(x)=af(x)+tx2-2t+1在区间(-1,3]上有零点,求t的取值范围.

  20.设函数f(x)=lnx-e1-x,g(x)=a(x2-1)- .

  (1)判断函数y=f(x)零点的个数,并说明理由;

  (2)记h(x)=g(x)-f(x)+ ,讨论h(x)的单调性;

  (3)若f(x)<g(x)在(1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.

  21.设f(x)=xex(e为自然对数的底数),g(x)=(x+1)2.

  (I)记 ,讨论函F(x)单调性;

  (II)令G(x)=af(x)+g(x)(a∈R),若函数G(x)有两个零点.

  (i)求参数a的取值范围;

  (ii)设x1,x2是G(x)的两个零点,证明x1+x2+2<0.

  22.已知函数 (a∈R).

  (1)若f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线2x+y+2=0垂直,求实数a的值;

  (2)求函数f(x)的单调区间;

  (3)讨论函数f(x)在区间[1,e2]上零点的个数.

  23.设函数f(x)=k(x-1)-2lnx(k>0).

  (1)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k的值;

  (2)设函数g(x)=xe1-x(其中e为自然对数的底数),若对任意给定的s∈(0,e),均存在两个不同的ti∈( )(i=1,2),使得f(ti)=g(s)成立,求实数k的取值范围.

  24.已知函数f(x)=2x3-3x+1,g(x)=kx+1-lnx.

  (1)设函数 ,当k<0时,讨论h(x)零点的个数;

  (2)若过点P(a,-4)恰有三条直线与曲线y=f(x)相切,求a的取值范围.

  25.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x-1

  (Ⅰ)求函数f(x)的解析式;

  (Ⅱ)当x∈[-1,2]时,求函数的最大值和最小值.

  (Ⅲ)若函数g(x)=f(x)-mx的两个零点分别在区间(-1,2)和(2,4)内,求m的取值范围.

  26.(1)若方程|3x-1|=k有两个不同解,求实数k的取值范围;

  (2)求函数 的零点个数;

  (3)设f(x)=x2-3x+a.若函数f(x)在区间(1,3)内有根,求实数a的取值范围.

  27.已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0),在区间(0,3]上有最大值5,最小值1,设f(x)= .

  (1)求a、b的值;

  (2)若不等式f(2x)-ko2x≥0在[-1,1]上恒成立,求实数k的取值范围;

  (3)若f(|2x-1|)+ko -3k=0在(1,+∞)有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.

  28.已知t为常数且0<t<1,函数g(x)= (x+ )(x>0),h(x)= .

  (1)求证:g(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增;

  (2)若函数g(x)与h(x)的最小值恰为函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的两个零点,求a+b的取值范围.

  29.已知函数f(x)= ,

  (1)画出f(x)的函数图象;

  (2)若关于x的方程f(x)+x-a=0有两个实数根,求a的范围.

  30.已知函数f(x)的定义域D?(0,+∞),若f(x)满足对任意的一个三边长为a,b,c∈D的三角形,都有f(a),f(b),f(c)也可以成为一个三角形的三边长,则称f(x)为"保三角形函数".

  (1)判断g(x)=sinx,x∈(0,π)是否为"保三角形函数",并说明理由;

  (2)证明:函数h(x)=lnx,x∈[2,+∞)是"保三角形函数";

  (3)若f(x)=sinx,x∈(0,λ)是"保三角形函数",求实数λ的最大值.

  31.已知函数 是奇函数.

  (1)求实数a的值;

  (2)设函数g(x)=f(x)-log2(mx),是否存在非零实数m使得函数g(x)恰好有两个零点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.

  32.已知函数f(x)=|a2x2-1|+ax,(其中a∈R,a≠0).

  (1)当a<0时,若函数y=f(x)-c恰有x1,x2,x3,x4这4个零点,求x1+x2+x3+x4的值;

  (2)当x∈[-1,1]时,求函数y=f(x)(其中a<0)的最大值M(a).

  33.已知函数f(x)=x- ,m∈R,且m≠0.

  (1)讨论函数f(x)的单调性;

  (2)若m=-1,求证:函数F(x)=x- 有且只有一个零点.

  34.已知函数 (a>1),求证:

  (1)函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;

  (2)方程f(x)=0没有负数根.

  35.已知向量 =(cos ,sin ), =(cos ,-sin ),函数f(x)= o -m| + |+1,x∈[- , ],m∈R.

  (1)当m=0时,求f( )的值;

  (2)若f(x)的最小值为-1,求实数m的值;

  (3)是否存在实数m,使函数g(x)=f(x)+ m2,x∈[- , ]有四个不同的零点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.

  36.已知函数f(x)是定义域为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+2x.

  (1)求f(x)的解析式;

  (2)若不等式f(t-2)+f(2t+1)>0成立,求实数t的取值范围.

  37.函数fn(x)=xn+bx+c(n∈Z,b,c∈R).

  (1)若n=-1,且f-1(1)=f-1( )=4,试求实数b,c的值;

  (2)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1]有|f2(x1)-f2(x2)|≤4恒成立,求b的取值范围;

  (3)当n=1时,已知bx2+cx-a=0,设g(x)= ,是否存在正数a,使得对于区间 上的任意三个实数m,n,p,都存在以f1(g(m)),f1(g(n)),f1(g(p))为边长的三角形?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

  38.设a∈R,函数f(x)=lnx-ax,g(x)= x3+x+1.

  (1)若曲线y=g(x)的切线l过点A(0, ),求切线l的方程;

  (2)讨论函数h(x)=2f(x)+g(x)- x3的单调性;

  (3)若x1,x2是函数f(x)的两个相异零点,求证:g(x1x2)>g(e2).(e为自然对数底数)

  39.已知函数 f(x)=ln(ex+a)(a为常数,e为自然对数的底数)是实数集R上的奇函数,函数g(x)=λf(x)+sin x在区间[-1,1]上是减函数.

  (1)求实数a的值;

  (2)若在x∈[-1,1]上g(x)≤t2+λt+1恒成立,求实数t的取值范围;

  (3)讨论关于x的方程 =x2-2ex+m的根的个数.

  40.已知函数f(x)=ax2-(5a-1)x+3a+1(a∈R).

  (1)若f(x)在区间[1,+∞)上是单调增函数,求a的取值范围;

  (2)在(1)的条件下,若函数f(x)在区间[1,5]上有零点,求a的取值范围.

  41.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-1,2],且函数f(x)在x=1和x=- 处都取得极值.

  (I)求实数a与b的值;

  (II)对任意x∈[-1,2],方程f(x)=2c存在三个实数根,求实数c的取值范围.

  42.已知函数f(x)=ex+ax2-2ax-1.

  (Ⅰ)当a= 时,讨论f(x)的单调性;

  (Ⅱ)设函数g(x)=f′(x),讨论g(x)的零点个数;若存在零点,请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间,并说明理由(注:有穷区间指区间的端点不含有-∞和+∞的区间).

  43.已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1.

  (1)当k=1时,求函数f(x)的最大值;

  (2)若函数f(x)没有零点,求实数k的取值范围.

  44.已知函数f(x)= ,

  (1)求f(-3),f[f(-3)].

  (2)若f(a)=8,求a的值.

  45.设函数y=f(x)的定义域为D,值域为A,如果存在函数x=g(t),使得函数y=f(g(t))的值域仍是A,那么称x=g(x)是函数y=f(x)的一个等值域变换.

  (1)已知函数f(x)=x2-x+1,x∈B,x=g(t)=log2t,t∈C.

  1°若B,C分别为下列集合时,判断x=g(t)是不是函数y=f(x)的一个等值域变换:①B=R,C=(1,+∞);②B=R,C=(2,+∞)

  2°若B=[0,4],C=[a,b](0<a<b),若x=g(t)是函数y=f(x)的一个等值域变换,求a,b满足的条件;

  (2)设f(x)=log2x的定义域为x∈[2,8],已知x=g(t)= 是y=f(x)的一个等值域变换,且函数y=f[g(t)]的定义域为R,求实数m,n的值.

  46.已知函数f(x)= ,g(x)= .

  (1)求函数h(x)=f(x)+2g(x)的零点;

  (2)若直线l:ax+by+c=0(a,b,c为常数)与f(x)的图象交于不同的两点A、B,与g(x)的图象交于不同的两点C、D,求证:|AC|=|BD|;

  (3)求函数F(x)=[f(x)]2n-[g(x)]2n(n∈N*)的最小值.

  47.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体,存在实数a、k(k≠0),对于定义域内的任意x均有f(a+x)=kf(a-x)成立,称数对(a,k)为函数f(x)的"伴随数对"

  (1)判断f(x)=x2是否属于集合M,并说明理由;

  (2)若函数f(x)=sinx∈M,求满足条件的函数f(x)的所有"伴随数对";

  (3)若(1,1),(2,-1)都是函数f(x)的"伴随数对",当1≤x<2时, ;当x=2时,f(x)=0.求当2014≤x≤2016时,函数y=f(x)的零点.

  48.某地区预计从明年初开始的前几个月内,对某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份数x的近似关系为f(x)= x(x+1)(35-2x)(x∈N,x≤12).

  (1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份数x的函数关系;

  (2)求出需求量最大的月份数x,并求出这前x个月的需求总量.

  49.已知定义在(0,+∞)上的函数 (其中 ),

  (Ⅰ)若当且仅当b∈(0,1)时,方程f(x)=b有三个不等的实根,求a的值;

  (Ⅱ)若函数g(x)=|f(x)|在 上的最大值为M(a),求M(a)的表达式.

  50.已知直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点.

  (1)求证:f(x)=x2-|x|+a为偶函数.

  (2)求当x≥0时,f(x)的解析式,并作出符合已知条件的函数f(x)图象.

  (3)求a的取值范围.

  51.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

  (1)当m=1时,判断方程根的情况.

  (2)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围.

  【答案】

  1.解:( 1 ) 由已知,有f(x)= cos2x

  = .

  设2kπ+ ,解得kπ+ ,

  故f(x)的单调减区间为: .

  (2)由题意可知,函数y=2f(x)与函数y=m-1的图象在

  区间 上有两个交点,

  ∵ ,

  ∴2f(x)=2o sin(2x- )∈[-1, ],

  结合图象可得:-1<m-1≤- ,解得0<m≤ .

  2.解:(Ⅰ)由题意,12(500-x)(1+0.5x%)≥12×500,

  ∴x2-300x≤0,

  ∵x>0,

  ∴0<x≤300;

  (Ⅱ)生产B产品创造利润12(a- x)x万元,设备升级后生产这批A产品的利润12(500-x)(1+0.5x%),

  ∴12(a- x)x≤12(500-x)(1+0.5x%),

  ∴a≤ + + .

  ∵ + ≥2 =4,当且仅当 = ,即x=250时等号成立,

  ∴0<a≤5.5,

  ∴a的最大值是5.5.

  3.解:(Ⅰ)不等式转化为 或 ,

  解得x>2,∴x0=2;

  (Ⅱ)由题意,等价于|x-m|+|x+ |=2(m>0)有解,

  ∵|x-m|+|x+ |≥m+ ,当且仅当(x-m)(x+ )≤0时取等号,

  ∵|x-m|+|x+ |=2(m>0)有解,

  ∴m+ ≤2,

  ∵m+ ≥2,

  ∴m+ =2,∴m=1.

  4.证明:∵|a|<1,|b|<1,且a≠0,

  ∴要证f(ab)>|a|f( ),

  只需证|ab-1|>|b-a|,

  只需证(ab-1)2>(b-a)2,

  而(ab-1)2-(b-a)2=a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)>0显然成立,

  从而原不等式成立.

  5.解:(Ⅰ)①、②是"β 函数",③不是"β函数".…(3分)

  (Ⅱ)由题意,对任意的x∈R,f(-x)≠-f(x),即f(-x)+f(x)≠0,.

  因为f(x)=sinx+cosx+a,所以f(-x)=-sinx+cosx+a.

  故f(-x)+f(x)=2cosx+2a

  由题意,对任意的x∈R,2cosx+2a≠0,即a≠-cosx.…(6分)

  故实数a的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).…(8分)

  (Ⅲ)(1)对任意的x≠0

  (a)若x∈A且-x∈A,则-x≠x,f(-x)=f(x),这与y=f(x)在R上单调递增矛盾,(舍),

  (b)若x∈B且-x∈B,则f-(x)=-x=-f(x),这与y=f(x)是"β函数"矛盾,(舍).

  此时,由y=f(x)的定义域为R,故对任意的x≠0,x与-x恰有一个属于A,另一个属于B.

  (2)假设存在x0<0,使得x0∈A,则由x0< ,故f(x0)<f( ).

  (a)若 ,则f( )= ,矛盾,

  (b)若 ,则f( )= ,矛盾.

  综上,对任意的x<0,x?A,故x∈B,即(-∞,0)?B,则(0,+∞)?A.

  (3)假设0∈B,则f(-0)=-f(0)=0,矛盾.故0∈A

  故A=[0,+∞),B=(-∞,0).

  经检验A=[0,+∞),B=(-∞,0).符合题意   …(13分)

  6.解:(1)当a=2时,函数f(x)= = ,

  令|x|-2x2(x+2)=0,可得  ①,或  ②.

  解①可得x=0,或x= -1.

  解②可得x=-1+ ,或x=-1- .

  综上可得,当a=2时,函数f(x)的零点为x=0,或x= -1,或x=-1+ ,或x=-1- .

  (2)证明:∵当a>0时,若x>0,则函数f(x)= = -ax2 = .

  令f(x)=0,可得x(1-ax2-2ax)=0,解得x=-1+ ,或x=-1- (舍去).

  ∴函数f(x)在(0,+∞)上有唯一零点x=-1+ .

  7.解:(1)依题意,f′( )=0

  ∵f′(x)=-3x2+2ax

  -3( )2+2oao =0,

  ∴a=1(3分)

  (2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点,

  则方程f′(x)=0在区间(-2,3)内有两个不同的实根,

  ∴△>0,f′(-2)<0,f′(3)<0,-2< <3,

  解得-3<a< 且a≠0

  但a=0时,f(x)=-x3+1无极值点,

  ∴a的取值范围为(-3,0)∪(0, )(8分)

  (3)在(1)的条件下,a=1,

  要使函数f(x)与g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象恰有三个交点,

  等价于方程-x3+x2+1=x4-5x3+(2-m)x2+1,

  即方程x2(x2-4x+1-m)=0恰有三个不同的实根.

  ∵x=0是一个根,

  ∴应使方程x2-4x+1-m=0有两个非零的不等实根,

  由△=16-4(1-m)>0,1-m≠0,解得m>-3,m≠1(12分)

  ∴存在m∈(-3,1)∪(1,+∞),

  使用函数f(x)与g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象恰有三个交点(13分)

  8.解:(Ⅰ)由题设,g(x)=x2-alnx,

  则 .(1分)

  由已知,g'(1)=0,

  即2-a=0?a=2.(2分)

  于是 ,

  则 .(3分)

  由 ,

  所以h(x)在(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数.(4分)

  证明:(Ⅱ)当1<x<e2时,0<lnx<2,

  即0<f(x)<2.(5分)

  欲证 ,

  只需证x[2-f(x)]<2+f(x),

  即证 .(6分)

  设 ,

  则 .

  当1<x<e2时,φ'(x)>0,

  所以φ(x)在区间(1,e2)上为增函数.(7分)

  从而当1<x<e2时,φ(x)>φ(1)=0,

  即 ,

  故 .(8分)

  解:(Ⅲ)由题设, .

  令g(x)-h1(x)=0,

  则 ,

  即 .(9分)

  设 ,

  h3(x)=-x2+x+6(x>0),

  则 ,

  由 ,得x>4.

  所以h2(x)在(4,+∞)上是增函数,

  在(0,4)上是减函数.(10分)

  又h3(x)在(0, )上是增函数,

  在( ,+∞)上是减函数.

  因为当x→0时,h2(x)→+∞,h3(x)→6.

  又h2(1)=2,h3(1)=6,h2(4)=4-2ln4>0,h3(4)=-6,

  则函数h2(x)与h3(x)的大致图象如下:(12分)

  由图可知,当x>0时,两个函数图象有2个交点,

  故函数y=g(x)-h1(x)有2个零点.(13分)
 

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