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高三模拟文科数学试题之函数及其表示

来源:网络资源 2018-10-19 20:55:45

  高三模拟文数试题专题函数汇编之函数及其表示含解析

  一、解答题(本大题共46小题,共552.0分)

  1.已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)

  (1)求函数f(x)的定义域;

  (2)记函数g(x)=10f(x)+2x,求函数g(x)的值域.

  2.设函数f(x)是增函数,对于任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).

  (1)求f(0);

  (2)证明f(x)奇函数;

  (3)解不等式 f(x2)-f(x)> f(3x).

  3.已知实数a<0,函数 .

  (1)设 ,求t的取值范围;

  (2)将f(x)表示为t的函数h(t);

  (3)若函数f(x)的最大值为g(a),求g(a).

  4.已知函数f(x)是定义在[-e,0]∪(0,e]上的奇函数,当x∈[-e,0)时,有f(x)=ax-ln(-x)(其中e为自然对数的底,a∈R).

  (1)求函数f(x)的解析式.

  (2)试问是否存在实数a,使得当x∈(0,e]时,f(x)的最大值是2?如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由.

  5.已知函数

  (1)求函数f(x)的定义域.

  (2)若函数f(x)<0,求x得取值范围.

  6.已知函数f(x)= ,且f(-2)=3,f(-1)=f(1).

  (Ⅰ)求f(x)的解析式,并求f(f(-2))的值;

  (Ⅱ)请在给定的直角坐标系内,利用"描点法"画出y=f(x)的大致图象.

  7.已知函数f(x)= + ,

  (1)求f(x)的定义域;

  (2)判断函数f(x)的奇偶性.

  8.今有一长2米宽1米的矩形铁皮,如图,在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后,沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱(接口连接问题不考虑).

  (Ⅰ)求水箱容积的表达式f(x),并指出函数f(x)的定义域;

  (Ⅱ)若要使水箱容积不大于4x3立方米的同时,又使得底面积最大,求x的值.

  9.二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(4)=3.

  (1)求f(x)的解析式;

  (2)若f(x)在区间[2a,3a+1]上单调,求a的取值范围.

  10.函数f(x)是R上的偶函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)=

  (1)求f(-1)的值;

  (2)用定义证明f(x)在(0,+∞)上是减函数;

  (3)求当x<0时,函数的解析式.

  11.已知f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(4)=1,对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1ox2)=f(x1)+f(x2),当x∈(0,1)时,f(x)<0.

  (1)求f(1);

  (2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数;

  (3)解不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3.

  12.已知函数f(x),g(x)满足关系g(x)=f(x)of(x+a),其中a是常数.

  (1)若f(x)=cosx+sinx,且a= ,求g(x)的解析式,并写出g(x)的递增区间;

  (2)设f(x)=2x+ ,若g(x)的最小值为6,求常数a的值.

  13.已知函数f(x)=xm- ,且f(4)=3.

  (1)求m的值;

  (2)求f(x)的奇偶性.

  14.已知函数f(x)= .

  (I)求f(0),f(1);

  (II)求f(x)值域.

  15.某种商品每件进价9元,售价20元,每天可卖出69件.若售价降低,销售量可以增加,且售价降低x(0≤x≤11)元时,每天多卖出的件数与x2+x成正比.已知商品售价降低3元时,一天可多卖出36件.

  (Ⅰ)试将该商品一天的销售利润表示成x的函数;

  (Ⅱ)该商品售价为多少元时一天的销售利润最大?

  16.若0满足f(f(x0)=x0但f(x0)≠x0,则x0为f(x)的阶周期点函数有仅有两个二阶周期点,并二阶周点,x2;

  当a= 时,求ff( ));

  对于中x1,2,设(x1f(f(x1),B(x2,f(fx2)))C(a2,,记△ABC面积为s求s区[ , ]上的大和最小值.

  17.如图,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为f(t).试求函数f(t)的解析式,并画出函数y=f(t)的图象.

  18.已知函数f(x)=loga(x-1),g(x)=loga(6-2x)(a>0且a≠1).

  (1)求函数φ(x)=f(x)+g(x)的定义域;

  (2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.

  19.某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上(如图).该股票在30天内(包括第30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的函数关系式为Q=40-t(0≤t≤30且t∈N).

  (1)根据提供的图象,求出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;

  (2)用y(万元)表示该股票日交易额(日交易额=日交易量×每股的交易价格),写出y关于t的函数关系式,并求出这30天中第几天日交易额最大,最大值为多少.

  20.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且x<0时,f(x)=1+2x

  (1)求函数f(x)的解析式;

  (2)画出函数f(x)的图象;

  (3)写出函数f(x)单调区间及值域.

  21.已知函数f(x)= 的定义域为集合A,函数g(x)= 的定义域为集合B.

  (1)求集合A、B;

  (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.

  22.(理)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=2.

  (1)求f( )和f( )+f( )(n∈N*)的值;

  (2)数列f(x)满足an=f(0)+f( )+f( )+…+f( )+f(1),(n∈N*)求证:数列{an}是等差数列;

  (3)bn= ,Sn= ,Tn=b12+b22+b32+…+bn2,试比较Tn与Sn的大小.

  23.已知函数y=f(x)满足以下条件:①定义在正实数集上;②f( )=2;③对任意实数t,都有f(xt)=tof(x)(x∈R+).

  (1)求f(1),f( )的值;

  (2)求证:对于任意x,y∈R+,都有f(xoy)=f(x)+f(y);

  (3)若不等式f(loga(x-3a)-1)-f(-  )≥-4对x∈[a+2,a+ ]恒成立,求实数a的取值范围.

  24.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当 时,f(x)=sinx

  (1)求当x∈[-π,0]时f(x)的解析式

  (2)画出函数f(x)在[-π,π]上的函数简图

  (3)求当 时,x的取值范围.

  25.已知f(x)是二次函数,其函数图象经过(0,2),y=f(x+1)当x=0时取得最小值1.

  (1)求f(x)的解析式.

  (2)求f(x)在[k,k+1]上的最小值.

  26.已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|.

  (Ⅰ)当a=2时,作出图形并写出函数y=f(x)的单调递增区间;

  (Ⅱ)当a=-2时,求函数y=f(x)在区间 的值域;

  (Ⅲ)设a≠0,函数f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出m、n的取值范围(用a表示).

  27.设函数f(x)=x+ (x∈(-∞,0)∪(0,+∞))的图象为c1,c1关于点A(2,1)的对称图象为c2,c2对应的函数为g(x).

  (1)求函数g(x)的解析式,并确定其定义域;

  (2)若直线y=b与c2只有一个交点,求b的值,并求出交点坐标.

  28.定义域为R的函数f(x)满足:对任意的m,n∈R有f(m+n)=f(m)of(n),且当x≥0时,有0<f(x)<1,f(4)= .

  (1)求f(0)的值;

  (2)证明:f(x)>0在R上恒成立;

  (3)证明:f(x)在R上是减函数;

  (4)若x>0时,不等式f(x+ax)>f(2+x2)恒成立,求实数a的取值范围.

  29.已知:函数f(x)=lg(1-x)+lg(p+x),其中p>-1

  (1)求f(x)的定义域;

  (2)若p=1,当x∈(-a,a]其中a∈(0,1),a是常数时,函数f(x)是否存在最小值,若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,请说明理由.

  30.某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块矩形地面DRPQ建造一幢公寓.

  (Ⅰ)求边AB所在的直线的方程;

  (Ⅱ)问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积.

  31.已知函数f(x)=log2[1+2x+ao(4x+1)]

  (1)a=-1时,求函数f(x)定义域;

  (2)当x∈(-∞,1]时,函数f(x)有意义,求实数a的取值范围;

  (3)a=- 时,函数y=f(x)的图象与y=x+b(0≤x≤1)无交点,求实数b的取值范围.

  32.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=log (-x+1)

  (1)求f(3)+f(-1)

  (2)求函数f(x)的解析式;

  (3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围.

  33.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递减,且满足f(xoy)=f(x)+f(y),f(2)=1,

  (1)求f(1)的值;

  (2)解不等式f(-x)+f(3-x)≥2.

  34.已知y=f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数,它在[0,3]上是一次函数,在[3,6]上是二次函数,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3,又f(6)=2.

  (1)求y=f(x)的解析式;

  (2)若f(x)-a2-4a≥0恒成立,求a的取值范围.

  35.定义域在R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6,

  (Ⅰ)求f(0),f(1);

  (Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;

  (Ⅲ)若对于任意 都有f(kx2)+f(2x-1)<0成立,求实数k的取值范围.

  36.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(xy)=f(x)+f(y),

  (1)求f(1)的值;

  (2)若f( )=-1,求满足f(x)-f( )≥2的x的取值范围.

  37.在边长为2的正方形ABCD的边上有动点M,从点B开始,沿折线BCDA向A点运动,设M点运动的距离为x,△ABM的面积为S.

  (1)求函数S=f(x)的解析式、定义域和值域;

  (2)求f[f(3)]的值.

  38.定义在R上的函数f(x)满足:

  ①f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy;

  ② .

  (1)求 的值;

  (2)若函数g(x)= ,求函数g(x)的最大值.

  39.已知函数f(x)=|2x|,现将y=f(x)的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到函数h(x)的图象.

  (1)求函数h(x)的解析式;

  (2)函数y=h(x)的图象与函数g(x)=kx2的图象在 上至少有一个交点,求实数k的取值范围.

  40.函数f(x)对于任意的a,b∈R均有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1成立.

  (1)求证为R上的增函数;

  (2)若 对一切满足 的m恒成立,求实数x的取值范围.

  41.已知函数f(x)的定义域为0,1],且f(x)的图象连续不间断.若函数f(x)满足:对于给定的m (m∈R且0<m<1),存在x0∈[0,1-m],使得f(x0)=f(x0+m),则称f(x)具有性质P(m).

  (1)已知函数f(x)= ,若f(x)具有性质P(m),求m最大值;

  (2)若函数f(x)满足f(0)=f(1),求证:对任意k∈N*且k≥2,函数f(x)具有性质P( ).

  42.已知函数f(x)的定义域D?(0,+∞),若f(x)满足对任意的一个三边长为a,b,c∈D的三角形,都有f(a),f(b),f(c)也可以成为一个三角形的三边长,则称f(x)为"保三角形函数".

  (1)判断g(x)=sinx,x∈(0,π)是否为"保三角形函数",并说明理由;

  (2)证明:函数h(x)=lnx,x∈[2,+∞)是"保三角形函数";

  (3)若f(x)=sinx,x∈(0,λ)是"保三角形函数",求实数λ的最大值.

  43.函数y=a (a∈R),设t= ( ≤t≤2).

  (1)试把y表示成关于t的函数m(t);

  (2)记函数m(t)的最大值为g(a),求g(a);

  (3)当a≥- 时,试求满足 的所有实数a的值.

  44.如图,已知底角为45°角的等腰梯形ABCD,底边BC长为7cm,腰长为2 cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l把梯形ABCD分成两部分,令BF=x,求左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出图象.

  45.已知函数f(x)=

  (1)若m∈(-2,2),求函数y=f(x)的单调区间;

  (2)若m∈(0, ],则当x∈[0,m+1]时,函数y=f(x)的图象是否总在直线y=x上方,请写出判断过程.

  46.已知函数 .

  (1)求f(x)的定义域和值域;

  (2)证明函数 在(0,+∞)上是减函数.

  【答案】

  1.解:(1)由题意:函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=

  ∴函数f(x)的定义域满足: ,解得:-2<x<2

  故函数f(x)的定义域为(-2,2).

  (2)∵函数g(x)=10f(x)+2x,

  ∴g(x)= +2x= = ,(-2<x<2)

  ∵  ,即 ,当且仅当x=1时取等号.

  根据勾勾函数的性质:可得:函数g(x)在(-2,1)时,是增函数,(1,2)时,是减函数.

  故得g(x)∈(- ,7].

  所以函数g(x)的值域为(- ,7].

  2.解:(1)由题设,令x=y=0,

  恒等式可变为f(0+0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,

  (2)令y=-x,则由f(x+y)=f(x)+f(y)得

  f(0)=0=f(x)+f(-x),即得f(-x)=-f(x),

  故f(x)是奇函数

  (3)由 f(x2)-f(x)> f(3x),

  f(x2)-f(3x)>2f(x),

  即f(x2)+f(-3x)>2f(x),

  又由已知f(x+y)=f(x)+f(y).

  得:f[2(x)]=2f(x)

  ∴f(x2-3x)>f(2x),

  由函数f(x)是增函数,不等式转化为x2-3x>2x.即x2-5x>0,

  ∴不等式的解集{x|x<0或x>5}.

  3.解:(1)由 得 ,即-1≤x≤1,即函数的定义域[-1,1].平方得 ,

  ∴t2∈[2,4],

  ∵t≥0,

  ∴ ,

  ∴t的取值范围是 .-----------(4分)

  (2)由(1)知 ,

  ∴ , .-----------(6分)

  (3) 的对称轴为 .

  ①当 即 时, ;

  ②当 即 时, ;

  ③当 即 时,g(a)=h(2)=a+2.

  综上可得,函数f(x)的最大值为 .---(12分)

  4.解:(1)当x∈(0,e]时,-x∈[-e,0),

  则f(-x)=a(-x)-lnx,

  又f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x)=ax+lnx,

  故f(x)= ;

  (2)当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx,

  f′(x)=a+ = ,

  ①当a≥0时,f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]递增,

  故函数f(x)在区间(0,e]上的最大值是f(e)=ae+1=2,

  故a= >0满足题意;

  ②当- ≥e,即- ≤a<0时,f′(x)=a+ ≥- + ≥- + =0,

  故f(x)在(0,e]递增,

  此时f(x)在区间(0,e]的最大值是f(e)=ae+1=2,

  则a= >0,不满足条件= ≤a<0;

  ③当a<- 时,可得f(x)在区间(0,- ]递增,在区间[- ,e]递减,

  故x=- 时,f(x)max=f(- )=-1+ln(- ),

  令f(- )=2,得a=- >0 ,不满足条件,

  综上a= 时,函数f(x)在区间(0,e]上的最大值是2.

  5.解:(1)由题意得: >0,

  解得:-1<x<1,

  故函数的定义域是(-1,1);

  (2)若函数f(x)<0,

  即 <0,

  即0< <1,

  解得:0<x<1.

  6.解:(Ⅰ)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得 ,

  解得a=-1,b=1

  所以f(x)= ,

  从而f(f(-2))=f(-(-2)+1)=f(3)=23=8;

  (Ⅱ)"描点法"作图:1°列表:

  x    -2    -1    0    1    2

  f(x)    3    2    1    2    4

  2°描点;3°连线

  f(x)的图象如右图所示:

  7.解:(1)x的取值需满足2x-1≠0,则x≠0,

  即f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).

  (2)由(1)知定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,

  则f(-x)= + = + ,

  ∴f(x)+f(-x)

  = + + + = + +1=-1+1=0.

  ∴f(-x)=-f(x),

  ∴函数f(x)为奇函数.
 

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