高三模拟文科数学试题之函数的性质

　　高三模拟文数试题专题函数汇编之函数的性质含解析

　　一、解答题(本大题共82小题，共984.0分)

　　1.已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）

　　（1）求函数f（x）的定义域；

　　（2）记函数g（x）=10f（x）+2x，求函数g（x）的值域．

　　2.设函数f（x）是增函数，对于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

　　（1）求f（0）；

　　（2）证明f（x）奇函数；

　　（3）解不等式 f（x2）-f（x）＞ f（3x）．

　　3.已知实数a＜0，函数 ．

　　（1）设 ，求t的取值范围；

　　（2）将f（x）表示为t的函数h（t）；

　　（3）若函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）．

　　4.已知函数f（x）是定义在[-e，0]∪（0，e]上的奇函数，当x∈[-e，0）时，有f（x）=ax-ln（-x）（其中e为自然对数的底，a∈R）．

　　（1）求函数f（x）的解析式．

　　（2）试问是否存在实数a，使得当x∈（0，e]时，f（x）的最大值是2？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．

　　5.已知函数

　　（1）求函数f（x）的定义域．

　　（2）若函数f（x）＜0，求x得取值范围．

　　6.已知函数f（x）= ，且f（-2）=3，f（-1）=f（1）．

　　（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求f（f（-2））的值；

　　（Ⅱ）请在给定的直角坐标系内，利用"描点法"画出y=f（x）的大致图象．

　　7.今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱（接口连接问题不考虑）．

　　（Ⅰ）求水箱容积的表达式f（x），并指出函数f（x）的定义域；

　　（Ⅱ）若要使水箱容积不大于4x3立方米的同时，又使得底面积最大，求x的值．

　　8.二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（4）=3．

　　（1）求f（x）的解析式；

　　（2）若f（x）在区间[2a，3a+1]上单调，求a的取值范围．

　　9.函数f（x）是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=

　　（1）求f（-1）的值；

　　（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；

　　（3）求当x＜0时，函数的解析式．

　　10.已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x1，x2（0，+∞），都有f（x1ox2）=f（x1）+f（x2），当x∈（0，1）时，f（x）＜0．

　　（1）求f（1）；

　　（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；

　　（3）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

　　11.已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）of（x+a），其中a是常数．

　　（1）若f（x）=cosx+sinx，且a= ，求g（x）的解析式，并写出g（x）的递增区间；

　　（2）设f（x）=2x+ ，若g（x）的最小值为6，求常数a的值．

　　12.已知函数f（x）=xm- ，且f（4）=3．

　　（1）求m的值；

　　（2）求f（x）的奇偶性．

　　13.已知函数f（x）= ．

　　（I）求f（0），f（1）；

　　（II）求f（x）值域．

　　14.某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤11）元时，每天多卖出的件数与x2+x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．

　　（Ⅰ）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；

　　（Ⅱ）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？

　　15.若0满足f（f（x0）=x0但f（x0）≠x0，则x0为f（x）的阶周期点函数有仅有两个二阶周期点，并二阶周点，x2；

　　当a= 时，求ff（ ））；

　　对于中x1，2，设（x1f（f（x1），B（x2，f（fx2）））C（a2，，记△ABC面积为s求s区[ ， ]上的大和最小值．

　　16.如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．试求函数f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象．

　　17.已知函数f（x）=loga（x-1），g（x）=loga（6-2x）（a＞0且a≠1）．

　　（1）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的定义域；

　　（2）试确定不等式f（x）≤g（x）中x的取值范围．

　　18.某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，P），点（t，P）落在图中的两条线段上（如图）．该股票在30天内（包括第30天）的日交易量Q（万股）与时间t（天）的函数关系式为Q=40-t（0≤t≤30且t∈N）．

　　（1）根据提供的图象，求出该种股票每股的交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；

　　（2）用y（万元）表示该股票日交易额（日交易额=日交易量×每股的交易价格），写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少．

　　19.已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且x＜0时，f（x）=1+2x

　　（1）求函数f（x）的解析式；

　　（2）画出函数f（x）的图象；

　　（3）写出函数f（x）单调区间及值域．

　　20.已知函数f（x）= 的定义域为集合A，函数g（x）= 的定义域为集合B．

　　（1）求集合A、B；

　　（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．

　　21.（理）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2．

　　（1）求f（ ）和f（ ）+f（ ）（n∈N*）的值；

　　（2）数列f（x）满足an=f（0）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（1），（n∈N*）求证：数列{an}是等差数列；

　　（3）bn= ，Sn= ，Tn=b12+b22+b32+…+bn2，试比较Tn与Sn的大小．

　　22.已知函数y=f（x）满足以下条件：①定义在正实数集上；②f（ ）=2；③对任意实数t，都有f（xt）=tof（x）（x∈R+）．

　　（1）求f（1），f（ ）的值；

　　（2）求证：对于任意x，y∈R+，都有f（xoy）=f（x）+f（y）；

　　（3）若不等式f（loga（x-3a）-1）-f（-  ）≥-4对x∈[a+2，a+ ]恒成立，求实数a的取值范围．

　　23.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当 时，f（x）=sinx

　　（1）求当x∈[-π，0]时f（x）的解析式

　　（2）画出函数f（x）在[-π，π]上的函数简图

　　（3）求当 时，x的取值范围．

　　24.已知f（x）是二次函数，其函数图象经过（0，2），y=f（x+1）当x=0时取得最小值1．

　　（1）求f（x）的解析式．

　　（2）求f（x）在[k，k+1]上的最小值．

　　25.已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|．

　　（Ⅰ）当a=2时，作出图形并写出函数y=f（x）的单调递增区间；

　　（Ⅱ）当a=-2时，求函数y=f（x）在区间 的值域；

　　（Ⅲ）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．

　　26.设函数f（x）=x+ （x∈（-∞，0）∪（0，+∞））的图象为c1，c1关于点A（2，1）的对称图象为c2，c2对应的函数为g（x）．

　　（1）求函数g（x）的解析式，并确定其定义域；

　　（2）若直线y=b与c2只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标．

　　27.定义域为R的函数f（x）满足：对任意的m，n∈R有f（m+n）=f（m）of（n），且当x≥0时，有0＜f（x）＜1，f（4）= ．

　　（1）求f（0）的值；

　　（2）证明：f（x）＞0在R上恒成立；

　　（3）证明：f（x）在R上是减函数；

　　（4）若x＞0时，不等式f（x+ax）＞f（2+x2）恒成立，求实数a的取值范围．

　　28.已知：函数f（x）=lg（1-x）+lg（p+x），其中p＞-1

　　（1）求f（x）的定义域；

　　（2）若p=1，当x∈（-a，a]其中a∈（0，1），a是常数时，函数f（x）是否存在最小值，若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，请说明理由．

　　29.某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块矩形地面DRPQ建造一幢公寓．

　　（Ⅰ）求边AB所在的直线的方程；

　　（Ⅱ）问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．

　　30.已知函数f（x）=log2[1+2x+ao（4x+1）]

　　（1）a=-1时，求函数f（x）定义域；

　　（2）当x∈（-∞，1]时，函数f（x）有意义，求实数a的取值范围；

　　（3）a=- 时，函数y=f（x）的图象与y=x+b（0≤x≤1）无交点，求实数b的取值范围．

　　31.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log （-x+1）

　　（1）求f（3）+f（-1）

　　（2）求函数f（x）的解析式；

　　（3）若f（a-1）＜-1，求实数a的取值范围．

　　32.已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，且满足f（xoy）=f（x）+f（y），f（2）=1，

　　（1）求f（1）的值；

　　（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥2．

　　33.已知y=f（x）是定义在[-6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3，又f（6）=2．

　　（1）求y=f（x）的解析式；

　　（2）若f（x）-a2-4a≥0恒成立，求a的取值范围．

　　34.定义域在R的单调函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（3）=6，

　　（Ⅰ）求f（0），f（1）；

　　（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；

　　（Ⅲ）若对于任意 都有f（kx2）+f（2x-1）＜0成立，求实数k的取值范围．

　　35.已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y），

　　（1）求f（1）的值；

　　（2）若f（ ）=-1，求满足f（x）-f（ ）≥2的x的取值范围．

　　36.在边长为2的正方形ABCD的边上有动点M，从点B开始，沿折线BCDA向A点运动，设M点运动的距离为x，△ABM的面积为S．

　　（1）求函数S=f（x）的解析式、定义域和值域；

　　（2）求f[f（3）]的值．

　　37.定义在R上的函数f（x）满足：

　　①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy；

　　② ．

　　（1）求 的值；

　　（2）若函数g（x）= ，求函数g（x）的最大值．

　　38.已知函数f（x）=|2x|，现将y=f（x）的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到函数h（x）的图象．

　　（1）求函数h（x）的解析式；

　　（2）函数y=h（x）的图象与函数g（x）=kx2的图象在 上至少有一个交点，求实数k的取值范围．

　　39.函数f（x）对于任意的a，b∈R均有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，f（x）＞1成立．

　　（1）求证为R上的增函数；

　　（2）若 对一切满足 的m恒成立，求实数x的取值范围．

　　40.已知函数f（x）的定义域为0，1]，且f（x）的图象连续不间断．若函数f（x）满足：对于给定的m （m∈R且0＜m＜1），存在x0∈[0，1-m]，使得f（x0）=f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．

　　（1）已知函数f（x）= ，若f（x）具有性质P（m），求m最大值；

　　（2）若函数f（x）满足f（0）=f（1），求证：对任意k∈N*且k≥2，函数f（x）具有性质P（ ）．

　　41.已知函数f（x）的定义域D?（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为"保三角形函数"．

　　（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为"保三角形函数"，并说明理由；

　　（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是"保三角形函数"；

　　（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是"保三角形函数"，求实数λ的最大值．

　　42.函数y=a （a∈R），设t= （ ≤t≤2）．

　　（1）试把y表示成关于t的函数m（t）；

　　（2）记函数m（t）的最大值为g（a），求g（a）；

　　（3）当a≥- 时，试求满足 的所有实数a的值．

　　43.如图，已知底角为45°角的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2 cm，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l把梯形ABCD分成两部分，令BF=x，求左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出图象．

　　44.已知函数f（x）=

　　（1）若m∈（-2，2），求函数y=f（x）的单调区间；

　　（2）若m∈（0， ]，则当x∈[0，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在直线y=x上方，请写出判断过程．

　　45.已知函数 ．

　　（1）求f（x）的定义域和值域；

　　（2）证明函数 在（0，+∞）上是减函数．

　　46.已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx+2，其中a≤2．

　　（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

　　（Ⅱ）若不等式f（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

　　47.已知函数f（x）=（a2-3a+3）ax是指数函数，

　　（1）求f（x）的表达式；

　　（2）判断F（x）=f（x）-f（-x）的奇偶性，并加以证明

　　（3）解不等式：loga（1-x）＞loga（x+2）

　　48.求证：函数 在区间（0，+∞）上是增函数．

　　49.函数f（x）=x2-4x-4在区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t）．

　　（1）试写出g（x）的函数表达式；

　　（2）求g（t）的最小值．

　　50.已知函数f（x）=|x-a|-|x-3|．

　　（1）若a=-1，解不等式f（x）≥2；

　　（2）若存在实数x，使得 成立，试求a的取值范围．

　　51.已知函数f（x2-1）=logm ．

　　（1）求f（x）的解析式并判断f（x）的奇偶性；

　　（2）解关于 x的不等式 f（x）≤0．

　　52.已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．

　　（1）求实数a的值，并判断f（x）的单调性（不用证明）；

　　（2）已知不等式f（logm ）+f（-1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

　　53.已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．

　　（1）若a=1，求方程f（x）=g（x）的解；

　　（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；

　　（3）若a＞0，记F（x）=g（x）f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．

　　54.对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）-（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减；②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b为f（x）的"渐近函数"

　　（1）证明：函数g（x）=x+1是函数f（x）= ，x∈[0，+∞）的渐近函数，并求此时实数p的值；

　　（2）若函数f（x）= ，x∈[0，+∞）的渐近函数是g（x）=ax，求实数a的值，并说明理由．

　　55.已知函数f（x）=|x-2|+|x+1|．

　　（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；

　　（Ⅱ）若f（x）≥ - 对任意实数x恒成立，求a的取值范围．

　　56.已知函数f（x）=1+ ，且f（1）=2，

　　（1）求m的值；

　　（2）试判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

　　57.已知函数f（x）= + ，

　　（1）求f（x）的定义域；

　　（2）判断函数f（x）的奇偶性．

　　58.已知：在函数的图象上，f（x）=mx3-x以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为 ．

　　（I）求m，n的值；

　　（II）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由．

　　59.设函数f（x）=|2x+2|-|x-2|．

　　（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；

　　（Ⅱ）若?x∈R，f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

　　60.已知函数f（x）=|x-a|- x，（a＞0）．

　　（Ⅰ）若a=3，解关于x的不等式f（x）＜0；

　　（Ⅱ）若对于任意的实数x，不等式f（x）-f（x+a）＜a2+ 恒成立，求实数a的取值范围．

　　61.已知关于x的不等式|x-3|+|x-m|≥2m的解集为R．

　　（Ⅰ）求m的最大值；

　　（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c的值．

　　62.设函数 为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．

　　（1）求实数a的值；

　　（2）判断函数f（x）在区间（a+1，+∞）上的单调性，并用定义法证明．

　　63.设函数f（x）=|x-1|+|x-2|．

　　（1）解不等式f（x）＞3；

　　（2）若f（x）＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

　　64.已知：函数 ，且f（1）=0

　　（1）求m的值和函数f（x）的定义域；

　　（2）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；

　　（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

　　65.设函数 且 ．

　　（1）求f（x）的解析式并判断函数f（x）的奇偶性；

　　（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上单调性，并用定义法证明．

　　66.已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]．

　　（1）当a=-1时，求函数的最大值和最小值；

　　（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上不是单调函数；并求函数的最大值．

　　67.已知函数f（x）=x2-4x+a+3，a∈R；

　　（1）若函数y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求a的取值范围；

　　（2）设函数g（x）=bx+5-2b，b∈R，当a=3时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），求b的取值范围．

　　68.设函数f（x）=|x2-4x-5|．

　　（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象；

　　（2）设集合A={x|f（x）≥5}，B=（-∞，-2]∪[0，4]∪[6，+∞）．试判断集合A和B之间的关系（要写出判断过程）；

　　（3）当k＞2时，求证：在区间[-1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．

　　69.已知函数f（x）=lnx-a（x-1），a∈R

　　（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

　　（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤ 恒成立，求a的取值范围．

　　70.设

　　（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；

　　（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，试说明理由；

　　（Ⅲ）求证： （其中e为自然对数的底数）．

　　71.已知函数 ．

　　（1）求函数f（x）在x=e处的切线方程；

　　（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围；

　　（3）设k∈Z且f（x）＞（k-3）x-k+2在x＞1时恒成立，求整数k的最大值．

　　72.设f（x）=x2-（t+1）x+t（t，x∈R）．

　　（1）当t=3时，求不等式f（x）＞0的解集；

　　（2）已知f（x）≥0对一切实数x成立，求t的值．

　　73.已知函数 ，且f（1）=2

　　（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；

　　（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明；

　　（3）若f（a）＞2，求a的取值范围．

　　74.已知函数f（x）=-x2+ax+1-lnx．

　　（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；

　　（Ⅱ）若f（x）在区间（0， ）上是减函数，求实数a的取值范围．

　　75.已知函数f（x）= ．

　　（1）若a=2，利用定义法证明：函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数；

　　（2）若函数f（x）在区间（-∞，-1）上是减函数，求实数a的取值范围．

　　76.已知函数f（x）=x+ ，且f（1）=10．

　　（1）求a的值；

　　（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．

　　77.出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x）， ，已知g（x）在x=1处取极值．

　　（Ⅰ）确定函数h（x）的单调性；

　　（Ⅱ）求证：当1＜x＜e2时，恒有 成立；

　　（Ⅲ）把函数h（x）的图象向上平移6个单位得到函数h1（x）的图象，试确定函数y=g（x）-h1（x）的零点个数，并说明理由．

　　78.已知g（x）=x2-2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．

　　（1）求a的值；

　　（2）若不等式g（2x）-ko4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；

　　（3）若函数 有三个零点，求实数k的取值范围．

　　79.a时，求函数f（x）的调区间；

　　知函数f（x=- x3+ x2-2x（R）．

　　若过点 可作函数=（x）象的三条不同切线，数a取值范围．

　　80.不等式f（x）≤3的集{x-1x≤5}，求数a的值；

　　在件下，若f（x）+（x+5）≥m对一切实恒成立，求实m的范围．

　　81.已知定义域为R的函数 是奇函数。

　　（1）求a，b的值；

　　（2）若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0恒成立，求实数k的取值范围。

　　82.a∈（0，3）求函数y=（x）在∈[12]上的最大；

　　已知函数f（x）=x|x-|1（x∈．

　　对于给定的数a，一个最的正，x∈[0，M]时，都有|fx）|≤2试求出个正数M，求它的值范围．

　　【答案】

　　1.解：（1）由题意：函数f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）=

　　∴函数f（x）的定义域满足： ，解得：-2＜x＜2

　　故函数f（x）的定义域为（-2，2）．

　　（2）∵函数g（x）=10f（x）+2x，

　　∴g（x）= +2x= = ，（-2＜x＜2）

　　∵  ，即 ，当且仅当x=1时取等号．

　　根据勾勾函数的性质：可得：函数g（x）在（-2，1）时，是增函数，（1，2）时，是减函数．

　　故得g（x）∈（- ，7]．

　　所以函数g（x）的值域为（- ，7]．

　　2.解：（1）由题设，令x=y=0，

　　恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，

　　（2）令y=-x，则由f（x+y）=f（x）+f（y）得

　　f（0）=0=f（x）+f（-x），即得f（-x）=-f（x），

　　故f（x）是奇函数

　　（3）由 f（x2）-f（x）＞ f（3x），

　　f（x2）-f（3x）＞2f（x），

　　即f（x2）+f（-3x）＞2f（x），

　　又由已知f（x+y）=f（x）+f（y）．

　　得：f[2（x）]=2f（x）

　　∴f（x2-3x）＞f（2x），

　　由函数f（x）是增函数，不等式转化为x2-3x＞2x．即x2-5x＞0，

　　∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．

　　3.解：（1）由 得 ，即-1≤x≤1，即函数的定义域[-1，1]．平方得 ，

　　∴t2∈[2，4]，

　　∵t≥0，

　　∴ ，

　　∴t的取值范围是 ．-----------（4分）

　　（2）由（1）知 ，

　　∴ ， ．-----------（6分）

　　（3） 的对称轴为 ．

　　①当 即 时， ；

　　②当 即 时， ；

　　③当 即 时，g（a）=h（2）=a+2．

　　综上可得，函数f（x）的最大值为 ．---（12分）

　　4.解：（1）当x∈（0，e]时，-x∈[-e，0），

　　则f（-x）=a（-x）-lnx，

　　又f（x）是奇函数，故f（x）=-f（-x）=ax+lnx，

　　故f（x）= ；

　　（2）当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx，

　　f′（x）=a+ = ，

　　①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，e]递增，

　　故函数f（x）在区间（0，e]上的最大值是f（e）=ae+1=2，

　　故a= ＞0满足题意；

　　②当- ≥e，即- ≤a＜0时，f′（x）=a+ ≥- + ≥- + =0，

　　故f（x）在（0，e]递增，

　　此时f（x）在区间（0，e]的最大值是f（e）=ae+1=2，

　　则a= ＞0，不满足条件= ≤a＜0；

　　③当a＜- 时，可得f（x）在区间（0，- ]递增，在区间[- ，e]递减，

　　故x=- 时，f（x）max=f（- ）=-1+ln（- ），

　　令f（- ）=2，得a=- ＞0 ，不满足条件，

　　综上a= 时，函数f（x）在区间（0，e]上的最大值是2．

　　5.解：（1）由题意得： ＞0，

　　解得：-1＜x＜1，

　　故函数的定义域是（-1，1）；

　　（2）若函数f（x）＜0，

　　即 ＜0，

　　即0＜ ＜1，

　　解得：0＜x＜1．

　　6.解：（Ⅰ）由f（-2）=3，f（-1）=f（1）得 ，

　　解得a=-1，b=1

　　所以f（x）= ，

　　从而f（f（-2））=f（-（-2）+1）=f（3）=23=8；

　　（Ⅱ）"描点法"作图：1°列表：

　　x    -2    -1    0    1    2

　　f（x）    3    2    1    2    4

　　2°描点；3°连线

　　f（x）的图象如右图所示：

　　7.解：（Ⅰ）由已知该长方体形水箱高为x米，底面矩形长为（2-2x）米，宽（1-2x）米．

　　∴该水箱容积为f（x）=（2-2x）（1-2x）x=4x3-6x2+2x．…（4分）

　　其中正数x满足 ∴0＜x＜ ．

　　∴所求函数f（x）定义域为{x|0＜x＜ }．…（6分）

　　（Ⅱ）由f（x）≤4x3，得x≤0或x≥ ，

　　∵定义域为{x|0＜x＜ }，∴ ≤x＜ ．…（8分）

　　此时的底面积为S（x）=（2-2x）（1-2x）=4x2-6x+2（x∈[ ， ））．

　　由S（x）=4（x- ）2- ，…（10分）

　　可知S（x）在[ ， ）上是单调减函数，

　　∴x= ．

　　即要使水箱容积不大于4x3立方米的同时，又使得底面积最大的x是 ．…（12分）

　　8.解：（1）根据题意，二次函数f（x）的对称轴为x= =2，

　　顶点坐标为（2，1）；

　　设函数f（x）=a（x-2）2+1，

　　则f（0）=a×（-2）2+1=3，解得a= ，

　　所以f（x）= （x-2）2+1；

　　（2）二次函数f（x）的对称轴是x=2，

　　在对称轴的同侧，f（x）单调性相同，

　　当f（x）在区间[2a，3a+1]上单调时，

　　2a≥2或3a+1≤2，

　　解得a≥1或a≤ ，

　　所以a的取值范围是a≤ 或a≥1．

　　9.解：（1）f（-1）=f（1）=2-1=1．

　　（2）证明：设a＞b＞0，f（a）-f（b）=（ -1）-（ -1）= ，

　　由a＞b＞0知， ＜0，∴f（a）＜f（b），∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．

　　（3）设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）= -1=f（x），

　　∴f（x）= -1，即当x＜0时，函数的解析式为f（x）= -1．

　　10.解：（1）∵对任意x1，x2（0，+∞），都有f（x1ox2）=f（x1）+f（x2），

　　令x1=x2=1，

　　f（1o1）=f（1）+f（1），

　　则f（1）=0（2分）

　　（2）设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，

　　∵对任意x1，x2（0，+∞），都有f（x1ox2）=f（x1）+f（x2），

　　∴则f（x1）-f（x2）=f（ ）

　　∵0＜x1＜x2，

　　∴0＜ ＜1，又当x∈（0，1）时，f（x）＜0，∴f（x1）-f（x2）= ，

　　∴f（x）在（0，+∞）上是增函数（7分）

　　（3）令x1=x2=4，则f（16）=f（4）+f（4）=2，

　　令x1=4，x2=16，则f（64）=f（4）+f（16）=3，（9分）

　　∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3=f（64）

　　结合f（x）的定义域为（0，+∞），f（x1ox2）=f（x1）+f（x2）恒成立

　　∴

　　∴x∈（3，5]（12分）

　　11.解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，a= ；

　　∴f（x+a）=cosx-sinx；

　　∴g（x）=f（x）of（x+a）=cos2x；

　　由π+2kπ≤x≤2π+2kπ，k∈Z；

　　得：递增区间为[ π+kπ，π+kπ]，（k∈Z）；

　　（2）∵g（x）=f（x）of（x+a）

　　=（2x+ ）（2x+a+ ）

　　=（2x+ ）（2xo2a+ ）

　　=2a（2x）2+ +2a+ ≥2a+ +2=6；

　　（当且仅当2a（2x）2=1时，等号成立）；

　　故2a=2± ；

　　故a= ．

　　12.解：（1）∵函数f（x）=xm- ，且f（4）=3，

　　∴4m-1=3，∴m=1；

　　（2）∵f（x）=x- ，

　　∴f（-x）=-x+ =-f（x），

　　∴f（x）是奇函数．

　　13.解：（I） f（0）=1， ；

　　（II）这个函数当x=0时，函数取得最大值1，

　　当自变量x的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并趋向于0，但永远不会等于0，

　　于是可知这个函数的值域为集合 ．

　　14.解：（Ⅰ）由题意可设每天多卖出的件数为k（x2+x），

　　∴36=k（32+3），

　　∴k=3．

　　又每件商品的利润为（20-9-x）元，每天卖出的商品件数为69+3（x2+x）．

　　∴该商品一天的销售利润为

　　f（x）=（11-x）[69+3（x2+x）]=-3x3+30x2-36x+759（0≤x≤11）．

　　（Ⅱ）由f′（x）=-9x2+60x-36=-3（3x-2）（x-6）．

　　令f′（x）=0可得 或x=6．

　　当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

　　x    0                   6    （6，11）    11

　　f′（x）        -    0    +    0    -

　　f（x）    759    ↘    极小值     ↗    极大值975    ↘    0

　　∴当商品售价为14元时，一天销售利润最大，最大值为975元

　　15.解：当a= 时，求（ ）= ，故ff（ ））=（ ）2（1- ）=

　　得A（ ， ）B（ ， ）

　　则=S△OCB-S△A= × 所以s′= × ，

　　为f（ ）= = ≠ ，

　　≤x≤a2时，由 =，解得=0因为f（0）=0，故x=0不函数二周期点；

　　此函数有两个二阶周点，x= x2=

　　ff（x））=

　　因a∈（ ），有a2+＜1所s′= × = ＞0或令=3-a2-2a+2利用导证明其符号正亦可）

　　s在区[ ， 上是增函数，

　　故x= 是函数的二阶期；

　　故s区间[ ， ]的最小值s（ ）= ，大值为s（ ）=

　　16.解：（1）当0＜t≤1时，

　　如图，设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，

　　又 ，∴ ，

　　∴

　　（2）当1＜t≤2时，

　　如图，设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2-t，

　　又 ，∴

　　∴

　　（3）当t＞2时，

　　综上所述

　　17.解（1）由 ，解得1＜x＜3．

　　∴函数?（x）的定义域为{x|1＜x＜3}；

　　（2）不等式f（x）≤g（x），即为loga（x-1）≤loga（6-2x），

　　②当a＞1时，不等式等价于 ，解得： ；

　　②当0＜a＜1时，不等式等价于 ，解得： ．

　　综上可得，当a＞1时，不等式的解集为（1， ]；

　　当0＜a＜1，不等式的解集为[ ）．

　　18.解：（1）设表示前20天每股的交易价格P（元）与时间t（天）的一次函数关系式为P=k1t+m，

　　由图象得： ，解得： ，即P= t+2；        …（3分）

　　设表示第20天至第30天每股的交易价格P（元）与时间t（天）的一次函数关系式为P=k2t+n，

　　即P=- t+8．…（6分）

　　综上知P= （t∈N）．…（7分）

　　（2）由（1）可得y= ．

　　即y= （t∈N）．…（10分）

　　当0≤t＜20时，函数y=- t2+6t+80的图象的对称轴为直线t=15，

　　∴当t=15时，ymax=125；

　　当20≤t≤30时，函数y= t2-12t+320的图象的对称轴为直线t=60，

　　∴该函数在[20，30]上单调递减，即当t=20时，ymax=120．

　　而125＞120，

　　∴第15天日交易额最大，最大值为125万元． …（13分）

　　19.解：（1）由题意，f（0）=0，

　　当x＞0时，-x＜0，

　　f（x）=-f（-x）=-（1+2-x）

　　故f（x）= ；

　　（2）作函数f（x）的图象如下，  ；

　　（3）函数f（x）单调增区间为（-∞，0），（0，+∞），

　　其值域为（-2，-1）∪{0}∪（1，2）．

　　20.解：（1） ，

　　x2-（2a+1）x+a2+a≥0?x≥a+1或x≤a

　　∴A=（-∞，-1]∪（2，+∞），B=（-∞，a]∪[a+1，+∞）…（6分）

　　（2） …（12分）

　　21.（1）解：∵f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2，

　　∴ ，∴ ，

　　令 ，∴ ；

　　（2）证明：f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2，

　　则令 ，

　　∵an=f（0）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（1），

　　∴an=f（1）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（0），

　　∴2an=[f（0）+f（1）]+[f（ ）+f（ ）]+…+[f（ ）+f（ ）]+[f（1）+f（0）]，

　　∴2an=2（n+1）（n∈N*）

　　∴an=n+1（n∈N*）

　　∴an+1-an=（n+2）-（n+1）=1（n∈N*），

　　∴{an}是等差数列．

　　（3）解：由（2）有

　　∴

　　∴Tn=b12+b22+b32+…+bn2＜2[（1- ）+（ - ）+…+（ - ）]

　　=2（1- ）= =Sn

　　∴Tn＜Sn

　　22.（1）解：令t=0，则f（x0）=0of（x）=0，即f（1）=0；

　　由f（ ）=2，则f（ ）=2f（ ）=4；

　　（2）证明：设0＜a＜1，由于x，y＞0，存在m，n，使x=am，y=an，

　　f（xy）=f（aman）=f（am+n）=（m+n）f（a），

　　f（x）+f（y）=f（am）+f（an）=mf（a）+nf（a）=（m+n）f（a）．

　　则有f（xy）=f（x）+f（y）；

　　（3）解：先证f（x）在x＞0上递减．

　　由于f（x）=f（ ）= of（ ）=2 ，则f（x）在x＞0上递减．

　　再求a的取值范围，a＞0，a≠1，

　　又不等式f（loga（x-3a）-1）-f（-  ）≥-4对x∈[a+2，a+ ]恒成立，

　　则x-3a＞0，x-a＞0，对x∈[a+2，a+ ]恒成立，a+2-3a＞0，且a+2-a＞0，

　　则0＜a＜1，在x＞0上，loga（x-3a）-1＞0，即x-3a＜a，对x∈[a+2，a+ ]恒成立，

　　则有a+ ＜4a，解得，a＞ ；

　　-loga ＞0，即x-a＞1，对x∈[a+2，a+ ]恒成立，a+2-a＞1恒成立．

　　由（2）中令x= ，y=4，则f（1）=f（ ）+f（4），f（4）=-4，

　　f（loga（x-3a）-1）≥f（4）+f（- loga（x-a））=f（-loga（x-a）），

　　由于f（x）在x＞0上递减，则loga（x-3a）+loga（x-a）≤1，等价为loga（x2-4ax+3a2）≤1．

　　由0＜a＜1，则x=2a在[a+2，a+ ]的左侧，

　　令g（x）=loga（x2-4ax+3a2），g（x）在[a+2，a+ ]递减，

　　g（x）max=g（a+2）≤1，即loga（4-4a）≤1，即4-4a≥a，

　　解得，a ．

　　综上，可得， ＜a≤ ．

　　23.（1）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x）

　　而当x∈ 时，f（x）=sinx，所以x 时， ，

　　f（x）=f（-x）=sin（-x）=-sinx．

　　又当x 时，x+π∈ ，

　　因为f（x）的周期为π，所以f（x）=f（π+x）=sin（π+x）=-sinx．

　　所以当x∈[-π，0]时f（x）=-sinx．

　　（2）函数图象如图，

　　（3）由于f（x）的最小正周期为π，

　　因此先在[-π，0]上来研究 ，即 ．

　　所以 ．所以， ．

　　由周期性知，当 时， （k∈Z）．

　　所以，当 时，x的取值范围是 （k∈Z）．

　　24.解：（1）由条件可得f（x+1）=ax2+1；

　　∴f（x）=a（x-1）2+1；

　　由f（0）=a+1=2得a=1；

　　∴f（x）=（x-1）2+1；

　　（2）①当k+1＜1，即k＜0时，最小值g（k）=f（k+1）=k2+1；

　　②当k＞1时，最小值g（k）=f（k）=（k-1）2+1；

　　③当0≤k≤1时，最小值g（k）=f（1）=1；

　　综上g（k）= ．

　　25.解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x-2|= ，作出图象，

　　由图可知，函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）；

　　（Ⅱ）当a=-2时，f（x）=x|x+2|= ，

　　∵f（-1- ）=- -2（-1- ）=-1，f（-1）=（-1）2+2×（-1）=-1，f（2）=4+4=8，

　　∴函数y=f（x）在区间 的值域为[-1，8]；

　　（Ⅲ）∵a≠0，f（x）=x|x-a|= ，函数f（x）有两个零点：0和a，

　　若a＞0，在（-∞， ）上单调递增，在（ ，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．

　　为使在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，必须0≤m＜ ，n≤ a．

　　若a＜0，在（-∞，a）上单调递增，在（a， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增．

　　为使在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，必须m≥ a，n≤0．

　　26.解：（1）设函数g（x）的图象上任一点P（x，y），且P关于A（2，1）的对称点P'（x'，y'）；

　　则 ，解得 ；

　　∵点P'在函数f（x）=x+ 的图象上，∴2-y=（4-x）+ ，

　　∴y=2-（4-x）- =x-2+ ，

　　即g（x）=x-2+ ，（x≠4）；

　　（2）当x-4＞0时，即x＞4，（x-4）+ ≥2，当且仅当x=5时取"="；

　　此时g（x）取到最小值4，

　　∵直线y=b与C2只有一个公共点，∴b=4，且交点坐标是（5，4）；

　　当x-4＜0时，即x＜4，-[（x-4）+ ]≥2，即（x-4）+ ≤-2，

　　此时g（x）取到最大值0，当且仅当x=3时取"="；

　　∵直线y=b与C2只有一个公共点，∴b=0，且交点坐标是（3，0）；

　　综上，b的值及交点坐标分别为4，（5，4）或0，（3，0）．

　　27.解：（1）令m=n=0，

　　∴f（0）=f（0）f（0），0＜f（0）＜1，

　　∴f（0）=1；

　　（2）设m=x＜0，n=-x＞0，f（-x）∈（0，1）

　　∴f（m+n）=f（m）f（n）=f（0）=1，

　　∴f（m）＞1，即当x＜0时f（x）＞1　…（4分）

　　故f（x）＞0在R上恒成立；

　　（3）?x1＜x2∈R，则x2-x1＞0，0＜f（x2-x1）＜1，f（x1）＞0，

　　f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）

　　=f（x2-x1）f（x1）-f（x1）

　　=f（x1）[f（x2-x1）-1]＜0

　　∴f（x）在R 上单调递减．

　　（4）f（x+ax）＞f（2+x2）恒成立，

　　∴x+ax＜2+x2恒成立，

　　∴a＜ +x-1，

　　令g（x）= +x，知当x＞0时，g（x）≥2 ，

　　∴a＜2 -1．

　　28.解：（1）由题意可得 ，

　　即有 ，由p＞-1，可得-p＜1，

　　即有-p＜x＜1，则函数的定义域为（-p，1）；

　　（2）f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）=lg（1-x2），（-a＜x≤a），

　　令t=1-x2，（-a＜x≤a），y=lgt，为递增函数．

　　由t的范围是[1-a2，1]，

　　当x=a时，y=lgt取得最小值lg（1-a2），

　　故存在x=a，函数f（x）取得最小值，且为lg（1-a2）．

　　29.解：（Ⅰ）根据题意，OA=12，OB=18，

　　由截距式方程得：边AB所在的直线的方程为 ，

　　即 ；

　　（Ⅱ）设点P的坐标为（x，y），

　　则 ．

　　公寓占地面积为S=（60-x）（48-y）

　　=（60-x）[48-（12- x）]

　　=（60-x）（36+ x）=- x2+4x+2160

　　=- （x-3）2+2166，

　　当x=3时，Smax=2166，

　　这时 ．

　　故点P的坐标为（3，10）时，

　　才能使公寓占地面积最大，最大面积为2166m2．

　　30.解：（1）a=-1时，2x-4x＞0，2x（2x-1）＜0

　　∴0＜2x＜1∴x＜0，定义域为（-∞，0），

　　（2）由题1+2x+a（4x+1）＞0对一切x∈（-∞，1]恒成立

　　令t=2x+1∈（1，3]

　　在 上单减，在 上单增

　　∴ ∴ ，

　　（3） 时，  ，

　　记

　　令n=2x∈[1，2]， ，

　　在[1，2]上单调递减

　　∴ ，

　　∴-2≤log2g（n）≤0，

　　∵图象无交点，∴b＜-2或b＞0，

　　31.解：（I）∵f（x）是定义在R上的偶函数，x≤0时，f（x）=log （-x+1），

　　∴f（3）+f（-1）=f（-3）+f（-1）=log 4+log 2=-2-1=-3；

　　（II）令x＞0，则-x＜0，f（-x）=log （x+1）=f（x）

　　∴x＞0时，f（x）=log （x+1），

　　则f（x）= ．

　　（Ⅲ）∵f（x）=log （-x+1）在（-∞，0]上为增函数，

　　∴f（x）在（0，+∞）上为减函数

　　∵f（a-1）＜-1=f（1）

　　∴|a-1|＞1，

　　∴a＞2或a＜0

　　32.解：（1）∵f（xoy）=f（x）+f（y），f（2）=1，

　　∴f（2）=f（2×1）=f（2）+f（1），

　　∴f（1）=0．

　　（2）∵f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，

　　且满足f（xoy）=f（x）+f（y），f（2）=1，

　　∴f（-x）+f（3-x）=f（x2-3x）≥2=f（4）．

　　∴ ，解得-1≤x＜0．

　　∴不等式f（-x）+f（3-x）≥2的解集为[-1，0）．

　　33.解：（1）当x∈[3，6]时，f（x）为二次函数，

　　且f（x）≤f（5），f（6）=2，

　　设f（x）=ax2+bx+c，

　　则有 ，解得 ；

　　∴f（x）=-x2+10x-22，∴f（3）=-1，

　　又∵f（x）为奇函数，且在[0，3]上的一次函数，f（3）=-1，

　　∴ ，当x∈[-6，-3]时，-x∈[3，6]，

　　∴f（-x）=-x2-10x-22，

　　∵f（x）为[-6，6]上的奇函数，

　　∴f（x）=-f（-x）=x2+10x+22．

　　综上所述，f（x）= ；

　　（2）当-6≤x≤-3时，f（x）=（x+5）2-3，

　　当x=-5时，f（x）的最小值为-3；

　　x=-3时，f（-3）=1，即有f（x）∈[-3，1]；

　　当-3＜x＜3时，f（x）∈（-1，1）；

　　当3≤x≤6时，f（x）=-（x-5）2+3，

　　f（x）∈[-1，3]．

　　即有y=f（x）的值域为[-3，3]，

　　故f（x）-a2-4a≥0恒成立，

　　即a2+4a+3≤0，

　　解得-3≤a≤-1，

　　综上：若f（x）-a2-4a≥0恒成立，求a的取值范围为{a|-3≤a≤-1}．

　　34.解：（ I）取x=0，得f（0+y）=f（0）+f（y），

　　即f（y）=f（0）+f（y），∴f（0）=0，

　　∵f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）

　　∴结合f（3）=6，得3f（1）=6，可得f（1）=2；

　　（II）取y=-x，得f（0）=f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=0

　　移项得f（-x）=-f（x）

　　∴函数f（x）是奇函数；

　　（III）∵f（x）是奇函数，且f（kx2）+f（2x-1）＜0在 上恒成立，

　　∴f（kx2）＜f（1-2x）在 上恒成立，

　　又∵f（x）是定义域在R的单调函数，且f（0）=0＜f（1）=2，

　　∴f（x）是定义域在R上的增函数．

　　∴kx2＜1-2x在 上恒成立．

　　∴ 在 上恒成立．

　　令 ，

　　由于 ，∴ ．

　　∴g（x）min=g（1）=-1．∴k＜-1．

　　则实数k的取值范围为（-∞，-1）．

　　35.解：（1）因为f（xy）=f（x）+f（y），

　　所以，令x=y=1代入得，

　　f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，

　　即f（1）的值为0；

　　（2）因为f（3）+f（ ）=f（3× ）=f（1）=0，

　　且f（ ）=-1，所以，f（3）=1，

　　所以，f（3）+f（3）=f（9）=2，

　　因此，不等式f（x）-f（ ）≥2可化为：

　　f（x）≥f（ ）+f（9）=f（ ），

　　再根据函数f（x）是定义在（0，+∞）上单调递增，

　　所以， ，解得，x≥1+ ，

　　故原不等式的解集为：[1+ ，+∞）．

　　36.解：（1）依据题意得：当0＜x≤2时，S= o2ox=x，

　　当2＜x≤4时，S= o2o2=2，当4＜x≤6时，S= o2o（6-x）=6-x，

　　∴ ，

　　定义域是（0，6），值域是（0，2）．

　　（2）∵f（3）=2，f（2）=2

　　∴f[f（3）]=f（2）=2．

　　37.解：（1）令x=0，y= 得f（ ）+f（- ）=2f（0）cos =0，∴f（- ）=-2．

　　（2）令 ，得 ，

　　令 ，得 ，

　　两式相加： ，

　　令x=0，y=x得f（x）+f（-x）=2f（0）cosx=2cosx，

　　∴ ，∴ ，

　　∴ =2sin（x+ ）+cos（x+ ），

　　∴f（x）=cosx+2sinx．

　　∴

　　=   （i）

　　∵ ，∴ ，

　　∴（i） ．当且仅当 时取等号，此时 ．

　　∴ ．

　　38.解：（1）由图象的平移，h（x）=2|x-1|+1

　　（2）解：函数y=h（x）的图象与函数g（x）=kx2的图象在 上至少 有一个交点，等价于h（x）-g（x）=0在 上有解，

　　即2|x-1|+1-kx2=0在 上有解，

　　解法一：用分离参数处理：kx2=2|x-1|+1在 上有解， 在 上有解，

　　等价于 在x∈[1，3]上有解或者 在 上有解，

　　因为

　　综上， ．

　　解法二：用实根分布：

　　原题等价于kx2-2（x-1）-1=0在x∈[1，3]上有解或者kx2-2（1-x）-1=0在 上有解，

　　（1）kx2-2（x-1）-1=0在x∈[1，3]上有解

　　令g（x）=kx2-2（x-1）-1，k=0时显然无解．

　　当k＜0时， （舍）

　　当k＞0， 或者

　　所以

　　（2）kx2-2（1-x）-1=0在 上有解：

　　令h（x）=kx2+2x-3，k=0时显然无解．

　　当k＞0时， ，所以1≤k≤8

　　当k＜0时， （舍）或者

　　所以1≤k≤8

　　综上， ．

　　39.解：（1）证明：设x1＞x2（x1，x2∈R），则x1-x2＞0，又当x＞0时，f（x）＞1，

　　所以f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x1-x2）+f（x2）-1-f（x2）=f（x1-x2）-1＞1-1=0，

　　所以f（x1）＞f（x2），

　　故f（x）为R上的增函数；

　　（2）因为f（x）为R上的增函数，由 ，

　　∴f[（1+x） ]＞f（x2-1），

　　∴（1+x） ＞x2-1，对 恒成立

　　令t= ，则t∈[ ， ]，

　　原式等价于（1+x）t＞x2-1，t∈[ ， ]恒成立，

　　令g（t）=（1+x）t-x2+1，要使得 时恒成立，

　　只需要 ，

　　解得-1＜x＜ ．

　　40.解：（1）m的最大值为 ．

　　首先当m= 时，取x0= ，则f（x0）=f（ ）=1，f（x0+m）=f（ ）=f（1）=1

　　所以函数f（x）具有性质P（ ）                               （3分）

　　假设存在 ＜m＜1，使得函数f（x）具有性质P（m），则0＜1-m＜ ．

　　当x0=0时，x0+m∈ ，f（x0）=1，f（x0+m）＞1，f（x0）≠f（x0+m）；

　　当x0∈（0，1-m]时，x0+m∈（ ，1]，f（x0）＜1，f（x0+m）≥1，f（x0）≠f（x0+m）；

　　所以不存在x0∈（0，1-m]，使得f（x0）=f（x0+m），

　　所以，m的最大值为 ．                                        …（7分）

　　（2）证明：任取k∈N*且k≥2

　　设g（x）=f（x+ ）-f（x），其中x∈[0， ]，则有g（0）=f（ ）-f（0）

　　g（ ）=f（ ）-f（ ）

　　…

　　g（ ）=f（ ）-f（ ）

　　…

　　g（ ）=f（1）-f（ ）

　　以上各式相加得：g（0）+g（ ）+…+g（ ）+…+g（ ）=f（1）-f（0）=0

　　当g（0）、g（ ）、…、g（ ）中有一个为0时，不妨设为g（ ）=0，i∈{0，1，…，k-1}，

　　即g（ ）=f（ + ）-f（ ）=0，则函数f（x）具有性质P（ ）；

　　当g（0）、g（ ）、…、g（ ）均不为0时，由于其和为0，则必然存在正数和负数，

　　不妨设g（ ）＞0，g（ ）＜0，其中i≠j，i，j∈{0，1，…，k-1}，

　　由于g（x）是连续的，所以当j＞i时，至少存在一个 （当j＜i时，至少存在一个 ）

　　使得g（x0）=0，

　　即g（x0）=f（ ）-f（x0）=0

　　所以，函数f（x）具有性质P（ ）                     …（12分）

　　41.解：（1）若a= ，b= ，c= ，

　　则f（a）=f（b）=sin = ，f（c）=sin =1，

　　则f（a）+f（b）= =1，不满足f（a）+f（b）＞f（c）

　　故f（x）=sinx，不是"保三角形函数"．

　　（2）对任意一个三角形三边长a，b，c∈[2，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，

　　则h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．

　　因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a-1）（b-1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，

　　即lna+lnb＞lnc．

　　同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．

　　所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长．

　　故函数h（x）=lnx （x∈[2，+∞））．

　　（3）λ的最大值是 ．

　　①当λ＞ 时，取a= =b，c= ，显然这3个数属于区间（0，λ），且可以作为某个三角形的三边长，

　　但这3个数的正弦值 、 、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h（x）=sinx，x∈（0，λ）不是保三角形函数．

　　②当λ= 时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0， ），

　　若a+b+c≥2π，则a≥2π-b-c＞2π- - = ，

　　即a＞ ，同理可得b＞ ，c＞ ，∴a、b、c∈（ ， ），

　　∴sina、sinb、sinc∈（ ，1]．

　　由此可得sina+sinb＞ + =1≥sinc，即sina+sinb＞sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，

　　故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．

　　若a+b+c＜2π，则 + ＜π，

　　当 ≤ 时，由于a+b＞c，∴0＜ ＜ ≤ ，∴0＜sin ＜sin ≤1．

　　当 ＞ 时，由于a+b＞c，∴0＜ ＜ ＜ ，∴0＜sin ＜sin ＜1．

　　综上可得，0＜sin ＜sin ≤1．

　　再由|a-b|＜c＜ ，以及y=cosx在（ 0，π）上是减函数，可得cos =cos ＞cos ＞cos ＞0，

　　∴sina+sinb=2sin cos ＞2sin cos =sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，

　　故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．

　　故当λ= 时，h（x）=sinx，x∈（0，M）是保三角形函数，故λ的最大值为 ，

　　42.解：（1）∵ ，

　　∴t2=2+2 ，∴ ；

　　∴y=m（t）=a（ t2-1）+t= ， ．

　　（2）∵a≠0时直线 是抛物线m（t）= 的对称轴，

　　∴可分以下几种情况进行讨论：

　　①当a＞0时，函数y=m（t）， 的图象是开口向上的抛物线的一段，

　　由 知m（t）在 上单调递增，故g（a）=m（2）=a+2；

　　②当a=0时，m（t）=t， ，有g（a）=2；

　　③当a＜0时，函数y=m（t）， 的图象是开口向下的抛物线的一段，

　　若  即 时，g（a）= ，

　　若  即 时，g（a）= ，

　　若 ∈（2，+∞）即 时，g（a）=m（2）=a+2．

　　综上所述，有g（a）= ．

　　（3）①当- ≤a≤- 时，- ≤ ≤- ，此时g（a）=g（ ）= ，∴- ≤a≤- ；

　　②当- ＜a≤- 时，-2≤ ＜- ，此时g（a）=-a- ，g（ ）= ，

　　由-a- = 得a=- ，与a＞- 矛盾，舍去；

　　③当- ＜a＜0时， ＜-2，此时g（a）=a+2，g（ ）= ，

　　由a+2= 得a= -2，与a＞- 矛盾，舍去；

　　④当a＞0时， ＞0，此时g（a）=a+2，g（ ）= +2，

　　由a+2= +2得a=±1，又∵a＞0，∴a=1；

　　综上所述，满足 的所有实数a为： 或a=1．

　　43.解：过A，D分别作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，

　　∵ABCD是等腰梯形，底角45°，AB= cm，

　　∴BG=AG=DH=HC=2cm，又BC=7cm，∴AD=GH=3cm，

　　（1）当点F在BG上，即x∈（0，2]时，y= ，

　　（2）当点F在GH上，即x∈（2，5]时，y=2+2（x-2）=2x-2，

　　（3）当点F在HC上，即x∈（5，7）时，y=  =- ，

　　∴函数的解析式为y=

　　作图如右：

　　44.解：（Ⅰ）函数定义域为R，f′（x）=

　　①当m+1=1，即m=0时，f′（x）≥0，此时f（x）在R递增，

　　②当1＜m+1＜3即0＜m＜2

　　x∈（-∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增，

　　x∈（1，m+1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，

　　x∈（m+1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增；

　　③0＜m+1＜1，即-1＜m＜0时，

　　x∈（-∞，m+1）和（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，

　　x∈（m+1，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减；

　　综上所述，①m=0时，f（x）在R递增，

　　②0＜m＜2时，f（x）在（-∞，1），（m+1，+∞）递增，在（1，m+1）递减，

　　③-2＜m＜0时，f（x）在（-∞，m+1），（1，+∞）递增，在（m+1，1）递减；

　　（Ⅱ）当m∈（0， ]时，由（1）知f（x）在（0，1）递增，在（1，m+1）递减，

　　令g（x）=x，

　　①当x∈[0，1]时，f（x）min=f（0）=1，g（x）max=1，

　　所以函数f（x）图象在g（x）图象上方；

　　②当x∈[1，m+1]时，函数f（x）单调递减，

　　所以其最小值为f（m+1）= ，g（x）最大值为m+1，

　　所以下面判断f（m+1）与m+1的大小，

　　即判断ex与（1+x）x的大小，其中x=m+1∈（1， ]，

　　令m（x）=ex-（1+x）x，m′（x）=ex-2x-1，

　　令h（x）=m′（x），则h′（x）=ex-2，

　　因x=m+1∈（1， ]，所以h′（x）=ex-2＞0，m′（x）单调递增；

　　所以m′（1）=e-3＜0，m′（ ）= -4＞0，

　　故存在x0∈（1， ]使得m′（x0）=ex0-2x0-1=0，

　　所以m（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0， ）单调递增

　　所以m（x）≥m（x0）=ex0-x02-x0=2x0+1- -x0=- +x0+1，

　　所以x0∈（1， ]时，m（x0）=- +x0+1＞0，

　　即ex＞（1+x）x也即f（m+1）＞m+1，

　　所以函数f（x）的图象总在直线y=x上方．

　　45.解：（1）要使函数 的解析式有意义

　　自变量应满足x≠0

　　故f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）

　　由于 ≠0，则 -2≠-2

　　故f（x）的值域为（-∞，-2）∪（-2，+∞）

　　（2）任取区间（0，+∞）上两个任意的实数x1，x2，且x1＜x2，

　　则x1＞0，x2＞0，x2-x1＞0，

　　则f（x1）-f（x2）=（ ）-（ ）= - = ＞0

　　即f（x1）＞f（x2）

　　故函数 在（0，+∞）上是减函数

　　46.解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），

　　f′（x）=2ax-（a+2）+ = ，a≤2，

　　①a≤0时，ax-1＜0，

　　令f′（x）＞0，即2x-1＜0，解得：0＜x＜ ，

　　令f′（x）＜0，解得：x＞ ，

　　故f（x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减；

　　②0＜a＜2时，x= ＜ ，

　　令f′（x）＞0，解得：x＞ 或x＜ ，

　　令f′（x）＜0，解得： ＜x＜ ，

　　故f（x）在（0， ）递增，在（ ， ）递减，在（ ，+∞）递增；

　　③a=2时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增；

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）①a≤0时，f（x）在[1，2]递减，

　　f（x）min=f（2）=2a-2+ln2≥0，解得：a≥1-2ln2，

　　故1-2ln2≤a≤0；

　　②0＜a≤ 时， ≥2，f（x）在[1，2]递减

　　f（x）min=f（2）=2a-2+ln2≥0，解得：a≥1-2ln2，

　　故0＜a≤ ；

　　③ ＜a＜1时，1＜ ＜2，

　　故f（x）在[1， ）递减，在（ ，2]递增，

　　故f（x）min=f（ ）=1- -lna≥0，

　　令g（a）=1- -lna，a∈（ ，1），

　　g′（a）= - = ＞0，

　　故g（a）在（ ，1）递增，

　　g（a）＜g（1）=0，

　　故1＜ ＜2时，不合题意；

　　④a≥1时， ≤1，

　　故f（x）在[1，2]递增，f（x）min=f（1）=0，

　　故a≥1，

　　综上，1-2ln2≤a≤ 或a≥1．

　　47.解：（1）a2-3a+3=1，可得a=2或a=1（舍去），

　　∴f（x）=2x；

　　（2）F（x）=2x-2-x，∴F（-x）=-F（x），

　　∴F（x）是奇函数；

　　（3）不等式：log2（1-x）＞log2（x+2），即1-x＞x+2＞0，∴-2＜x＜- ，

　　解集为{x|-2＜x＜- }．

　　48.证明：根据题意，设x1＞x2＞0，

　　f（x1）-f（x2）=（- -1）-（- -1）= - = ，

　　又由x1＞x2＞0，则x1-x2＞0且x1ox2＞0，

　　则有f（x1）-f（x2）= ＞0，

　　即f（x1）＞f（x2），

　　故函数 在区间（0，+∞）上是增函数．

　　49.解：（1）f（x）=x2-4x-4=（x-2）2-8，

　　当t＞2时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，

　　∴g（t）=f（t）=t2-4t-4；

　　当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，

　　g（t）=f（2）=-8；

　　当t+1＜2，即t＜1时，f（x）在[t，t+1]上是减函数，

　　∴g（t）=f（t+1）=t2-2t-7；

　　从而g（t）= ；

　　（2）当t＜1时，t2-2t-7＞-8，

　　当t＞2时，t2-4t-4＞-8；

　　故g（t）的最小值为-8．

　　50.解：（1）若a=-1，则f（x）=|x+1|-|x-3|，

　　若x≥3，由f（x）≥2，

　　得（x+1）-（x-3）≥2不等式显然成立，

　　若-1≤x＜3，由f（x）≥2，

　　得（x+1）+（x-3）≥2，解得x≥2．

　　又-1≤x＜3，∴2≤x＜3．

　　若x＜-1，由f（x）≥2，

　　得-（x+1）+（x-3）≥2不等式不成立．

　　∴不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥2}．

　　综上所述，不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥2}；

　　（2）不等式 即|x-a|-|x-3| ．

　　|x-a|-|x-3|≥-|（x-a）-（x-3）|=-|a-3|，

　　若a＞3，等号成立当且仅当x≥3，

　　若a=3，等号成立当且仅当x∈R，

　　若a＜3，等号成立当且仅当x≤3．

　　∴-|a-3| ，即|a-3| ，

　　若a≥3，则（a-3） ，解得a≥6．

　　若a＜3，则-（a-3） ，解得a≤2．

　　∴a的取值范围是（-∞，2]∪[6，+∞）．

　　综上所述，a的取值范围是（-∞，2]∪[6，+∞）．

　　51.解：（1）设x2-1=t（t≥-1），则 ，

　　∴ ，

　　设x∈（-1，1），则-x∈（-1，1），

　　∴ ，

　　∴f（x）为奇函数；

　　（2）由 可知，当m＞1时， ，

　　解得：-1＜x≤0；

　　当0＜m＜1时， ，

　　解得0≤x＜1；

　　当m＞1时，不等式组的解集为{x|-1＜x≤0}，

　　当0＜m＜1时，不等式组的解集为{x|0≤x＜1}．

　　52.解：（1）∵f（x）是定义域为R上的奇函数，

　　∴f（0）=0，

　　∴ =0，

　　解得a=1，

　　∴f（x）= =-1+ ，

　　∵y=2x是R上的增函数，

　　∴f（x）在R上为减函数，

　　（2）∵f（x）是R上的奇函数，

　　∴f（logm ）+f（-1）＞0

　　等价于f（logm ）＞-f（-1）=f（1），

　　又∵f（x）是R上的减函数，

　　∴logm =logmm，

　　∴当0＜m＜1时， ＞m，即0＜m＜ ；

　　当m＞1时， ＜m，即m＞1；

　　综上，m的取值范围是m∈（0， ）∪（1，+∞）．

　　53.解：（1）当a=1时，|x-1|=x，即x-1=x或x-1=-x，

　　解得x= ；

　　（2）当a＞0时，|x-a|-ax=0有两解，

　　等价于方程（x-a）2-a2x2=0在（0，+∞）上有两解，

　　即（a2-1）x2+2ax-a2=0在（0，+∞）上有两解，

　　令h（x）=（a2-1）x2+2ax-a2，

　　因为h（0）=-a2＜0，所以 ，

　　故0＜a＜1；

　　同理，当a＜0时，得到-1＜a＜0；

　　当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．

　　综上可知实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，1）．

　　（3）令F（x）=f（x）og（x）

　　①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2-ax），

　　对称轴x= ，函数在[1，2]上是增函数，

　　所以此时函数y=F（x）的最大值为4a-2a2．

　　②当1＜a≤2时，F（x）= ，对称轴x= ，

　　所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a2-a，F（2）=4a-2a2，

　　1）若F（1）＜F（2），即1＜a＜ ，此时函数y=F（x）的最大值为4a-2a2；

　　2）若F（1）≥F（2），即 ，此时函数y=F（x）的最大值为a2-a．

　　③当2＜a≤4时，F（x）=-a（x2-ax）对称轴x= ，

　　此时F（x）max=F（ ）= ，

　　④当a＞4时，对称轴x= ，此时F（x）max=F（2）=2a2-4a．

　　综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值 ．

　　54.（1）证明：依题意，令t（x）=f（x）-g（x），

　　则t（x）= -（x+1）= ，

　　∵t′（x）=- ＜0，

　　∴t（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且 t（x）=0，

　　∴0＜t（x）≤t（0）=2，

　　于是函数g（x）=x+1是函数f（x）= ，x∈[0，+∞）的渐近函数，

　　此时实数p=2；

　　（2）解：记t（x）=f（x）-g（x）= -ax，

　　则t′（x）= -a，

　　∵函数f（x）= ，x∈[0，+∞）的渐近函数是g（x）=ax，

　　∴当x∈[0，+∞）时t′（x）＜0，即 ＜a，

　　令函数q（x）= ，其中x∈[0，+∞），

　　当x=0时，q（x）=0；

　　当x≠0时，q（x）= = = 在区间（0，+∞）上单调递增，

　　且 q（x）=1，

　　∴a≥1．

　　55.（本小题满分10分）

　　解：（Ⅰ）原不等式可化为： 或 或 …（3分）

　　解得：x＜-2或x＞3，

　　所以解集为：（-∞，-2）∪（3，+∞）．      …（5分）

　　（Ⅱ）因为|x-2|+|x+1|≥|x-2-（x+1）|=3，…（7分）

　　所以 f（x）≥3，当x≤-1时等号成立． 所以f（x）min=3．

　　又 ，

　　故 ． …（10分）

　　56.解：（1）由f（1）=2，得1+m=2，m=1．

　　（2）f（x）在（0，+∞）上单调递减．

　　证明：由（1）知，f（x）=1+ ，

　　设0＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（1+ ）-（1+ ）= ．

　　因为0＜x1＜x2，所以x2-x1＞0，x1x2＞0，

　　所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

　　所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．

　　57.解：（1）x的取值需满足2x-1≠0，则x≠0，

　　即f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）．

　　（2）由（1）知定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，

　　则f（-x）= + = + ，

　　∴f（x）+f（-x）

　　= + + + = + +1=-1+1=0．

　　∴f（-x）=-f（x），

　　∴函数f（x）为奇函数．

　　58.解：（I）根据求导法则求出f（x）的导函数f′（x）=3mx2-1，

　　由f（x）=mx3-x以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为 ．，

　　得 ，即 ．

　　把（1，n）代入到f（x）中得： -1=n，解得n=- ．

　　（II）令f'（x）=2x2-1=0，得 ．

　　当 时，f'（x）=2x2-1＞0；

　　当 时，f'（x）=2x2-1＜0；

　　当 时，f'（x）=2x2-1＞0；

　　又 ．

　　因此，当x∈[-1，3]时， ．

　　要使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15+1993=2008．

　　所以，存在最小的正整数k=2008．使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立．

　　59.解：（Ⅰ）∵ ，

　　当x＜-1时，-x-4＞2，解得x＜-6，∴x＜-6，

　　当-1≤x＜2时，3x＞2，解得 ，∴ ，

　　当x≥2时，x+4＞2，解得x＞-2，∴x≥2，

　　综上，原不等式解集为 ．

　　（Ⅱ）由f（x）的图象和单调性易得f（x）min=f（-1）=-3，

　　若?x∈R，f（x）≥m恒成立，

　　则只需f（x）min≥m?m≤-3，

　　故实数m的取值范围是（-∞，-3]．

　　60.解：（Ⅰ）a=3时，f（x）=|x-3|- x＜0，

　　即|x-3|＜ x，

　　两边平方得：（x-3）2＜ x2，

　　解得：2＜x＜6，

　　故不等式的解集是{x|2＜x＜6}；

　　（Ⅱ）f（x）-f（x+a）

　　=|x-a|- x-|x|+ （x+a）

　　=|x-a|-|x|+ ，

　　若对于任意的实数x，不等式f（x）-f（x+a）＜a2+ 恒成立，

　　即|x-a|-|x|+ ＜a2+ 对x∈R恒成立，

　　即a2＞|x-a|-|x|，而|x-a|-|x|≤|（x-a）-x|=|a|，

　　原问题等价于|a|＜a2，又a＞0，

　　∴a＜a2，解得a＞1．

　　61.解：（Ⅰ）∵|x-3|+|x-m|≥|（x-3）-（x-m）|=|m-3|

　　当3≤x≤m，或m≤x≤3时取等号，

　　令|m-3|≥2m，

　　∴m-3≥2m，或m-3≤-2m．

　　解得：m≤-3，或m≤1

　　∴m的最大值为1；

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=1．

　　由柯西不等式：（ + +1）（ 4a2+9b2+c2）≥（a+b+c）2=1，

　　∴4a2+9b2+c2≥ ，等号当且仅当4a=9b=c，且a+b+c=1时成立．

　　即当且仅当a= ，b= ，c= 时，4a2+9b2+c2的最小值为 ．

　　62.解：（1）∵ 为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，

　　∴f（-x）=-f（x），

　　∴ ，∴a=0．

　　（2）函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

　　证明：设1＜x1＜x2，

　　则 ．

　　∵1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0， ，

　　∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

　　∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．