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高三数学教案:《三角函数的图象与性质》教学设计

来源:精品学习网 2018-11-14 11:08:27

  本文题目:高三数学教案:三角函数的图象与性质

  ●知识梳理

  1.三角函数的图象和性质

  函 数

  性 质 y=sinx y=cosx y=tanx

  定义域

  值域

  图象

  奇偶性

  周期性

  单调性

  对称性

  注:读者自己填写.

  2.图象与性质是一个密不可分的整体,研究性质要注意联想图象.

  ●点击双基

  1.函数y=sin( -2x)+sin2x的最小正周期是

  A.2π B.π C. D.4π

  解析:y= cos2x- sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin( +2x),T=π.

  答案:B

  2.若f(x)sinx是周期为π的奇函数,则f(x)可以是

  A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x

  解析:检验.

  答案:B

  3.函数y=2sin( -2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是

  A.[0, ] B.[ , ]

  C.[ , ] D.[ ,π]

  解析:由y=2sin( -2x)=-2sin(2x- )其增区间可由y=2sin(2x- )的减区间得到,即2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z.

  ∴kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z.

  令k=0,故选C.

  答案:C

  4.把y=sinx的图象向左平移 个单位,得到函数____________的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数____________的图象.

  解析:向左平移 个单位,即以x+ 代x,得到函数y=sin(x+ ),再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,即以 x代x,得到函数:y=sin( x+ ).

  答案:y=sin(x+ ) y=sin( x+ )

  5.函数y=lg(cosx-sinx)的定义域是_______.

  解析:由cosx-sinx>0 cosx>sinx.由图象观察,知2kπ-

  答案:2kπ-

  ●典例剖析

  【例1】 (1)y=cosx+cos(x+ )的最大值是_______;

  (2)y=2sin(3x- )的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.

  剖析:(1)y=cosx+ cosx- sinx

  = cosx- sinx= ( cosx- sinx)

  = sin( -x).

  所以ymax= .

  (2)T= ,相邻对称轴间的距离为 .

  答案:

  【例2】 (1)已知f(x)的定义域为[0,1),求f(cosx)的定义域;

  (2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域.

  剖析:求函数的定义域:(1)要使0≤cosx≤1,(2)要使sin(cosx)>0,这里的cosx以它的值充当角.

  解:(1)0≤cosx<1 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,且x≠2kπ(k∈Z).

  ∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ- ,2kπ+ ]且x≠2kπ,k∈Z}.

  (2)由sin(cosx)>0 2kπ

  评述:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线.

  【例3】 求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期,并求x为何值时,y有最大值.

  剖析:将原函数化成y=Asin(ωx+ )+B的形式,即可求解.

  解:y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=1-3sin2xcos2x=1- sin22x= cos4x+ .

  ∴T= .

  当cos4x=1,即x= (k∈Z)时,ymax=1.

  深化拓展

  函数y=tan(ax+θ)(a>0)当x从n变化为n+1(n∈Z)时,y的值恰好由-∞变为+∞,则a=_______.

  分析:你知道函数的周期T吗?

  答案:π

  ●闯关训练

  夯实基础

  1.若函数f(x)=sin(ωx+ )的图象(部分),则ω和 的取值是

  A.ω=1, = B.ω=1, =-

  C.ω= , = D.ω= , =-

  解析:由图象知,T=4( + )=4π= ,∴ω= .

  又当x= 时,y=1,∴sin( × + )=1,

  + =2kπ+ ,k∈Z,当k=0时, = .

  答案:C

  2. f(x)=2cos2x+ sin2x+a(a为实常数)在区间[0, ]上的最小值为-4,那么a的值等于

  A.4 B.-6 C.-4 D.-3

  解析:f(x)=1+cos2x+ sin2x+a

  =2sin(2x+ )+a+1.

  ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ].

  ∴f(x)的最小值为2×(- )+a+1=-4.

  ∴a=-4.

  答案:C

  3.函数y= 的定义域是_________.

  解析:-sin ≥0 sin ≤0 2kπ-π≤ ≤2kπ 6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z).

  答案:6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z)

  4.函数y=tanx-cotx的最小正周期为____________.

  解析:y= - =-2cot2x,T= .

  答案:

  5.求函数f(x)= 的最小正周期、最大值和最小值.

  解:f(x)=

  = = (1+sinxcosx)

  = sin2x+ ,

  所以函数f(x)的最小正周期是π,最大值是 ,最小值是 .

  6.已知x∈[ , ],函数y=cos2x-sinx+b+1的最大值为 ,试求其最小值.

  解:∵y=-2(sinx+ )2+ +b,

  又-1≤sinx≤ ,∴当sinx=- 时,

  ymax= +b= b=-1;

  当sinx= 时,ymin=- .

  培养能力

  7.求使 = sin( - )成立的θ的区间.

  解: = sin( - )

  = ( sin - cos ) |sin -cos |=sin -cos

  sin ≥cos 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ (k∈Z).

  因此θ∈[4kπ+ ,4kπ+ ](k∈Z).

  8.已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有两解,求k的取值范围.

  解:原方程sinx+cosx=k sin(x+ )=k,在同一坐标系内作函数y1= sin(x+ )与y2=k的图象.对于y= sin(x+ ),令x=0,得y=1.

  ∴当k∈[1, )时,观察知两曲线在[0,π]上有两交点,方程有两解.

  评述:本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数,应重视这种方法.

  探究创新

  9.已知函数f(x)=

  (1)画出f(x)的图象,并写出其单调区间、最大值、最小值;

  (2)判断f(x)是否为周期函数.如果是,求出最小正周期.

  解:(1)实线即为f(x)的图象.

  单调增区间为[2kπ+ ,2kπ+ ],[2kπ+ ,2kπ+2π](k∈Z),

  单调减区间为[2kπ,2kπ+ ],[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z),

  f(x)max=1,f(x)min=- .

  (2)f(x)为周期函数,T=2π.

  ●思悟小结

  1.三角函数是函数的一个分支,它除了符合函数的所有关系和共性外,还有它自身的属性.

  2.求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数,且三角函数的次数为1的形式,否则很容易出现错误.

  ●教师下载中心

  教学点睛

  1.知识精讲由学生填写,起到回顾作用.

  2.例2、例4作为重点讲解,例1、例3诱导即可.

  拓展题例

  【例1】 已知sinα>sinβ,那么下列命题成立的是

  A.若α、β是第一象限角,则cosα>cosβ

  B.若α、β是第二象限角,则tanα>tanβ

  C.若α、β是第三象限角,则cosα>cosβ

  D.若α、β是第四象限角,则tanα>tanβ

  解析:借助三角函数线易得结论.

  答案:D

  【例2】 函数f(x)=-sin2x+sinx+a,若1≤f(x)≤ 对一切x∈R恒成立,求a的取值范围.

  解:f(x)=-sin2x+sinx+a

  =-(sinx- )2+a+ .

  由1≤f(x)≤

  1≤-(sinx- )2+a+ ≤

  a-4≤(sinx- )2≤a- . ①

  由-1≤sinx≤1 - ≤sinx- ≤

  (sinx- ) = ,(sinx- ) =0.

  ∴要使①式恒成立,

  只需 3≤a≤4.

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