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高一数学教案:《函数模型的应用举例》教学设计

来源:网络整理 2018-11-26 09:34:27

高一数学教案:《函数模型的应用举例》教学设计

项目

内容

课题

函数模型的应用举例

(共   2   课时)

修改与创新

教学

目标

1.培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力,即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式.

2.会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论,并根据数学结论解决实际问题.

3.通过学习函数基本模型的应用,体会实践与理论的关系,初步向学生渗透理论与实践的辩证关系.

 

教学重、

难点

根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型,并根据数学模型解决实际问题.

 

教学

准备

 

 

教学过程

 

 

第1课时  

函数模型的应用实例

导入新课

上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异,这一节我们进一步讨论不同函数模型的应用.

提出问题

①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.

设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40),试求f(x)和g(x).

②A、B两城相距100 km,在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电,为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月.

把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域.

③分析以上实例属于那种函数模型.

讨论结果:①f(x)=5x(15≤x≤40).

g(x)=

②y=5x2+(100—x)2(10≤x≤90);

③分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型.

例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.

(1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式,并作出相应的图象.

图3-2-2-1

活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导:

图中横轴表示时间,纵轴表示速度,面积为路程;由于每个时间段速度不断变化,汽车里程表读数s km与时间t h的函数为分段函数.

解:(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.

(2)根据图,有

这个函数的图象如图3-2-2-2所示.

图3-2-2-2

变式训练

2007深圳高三模拟,理19电信局为了满足客户不同需要,设有A、B两种优惠方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MN∥CD).

(1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x);

(2)假如你是一位电信局推销人员,你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案?并说明理由.

图3-2-2-3

解:(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式:

(2)当f(x)=g(x)时,x-10=50,

∴x=200.∴当客户通话时间为200分钟时,两种方案均可;

当客户通话时间为0≤x<200分钟,g(x)>f(x),故选择方案A;

当客户通话时间为x>200分钟时,g(x)<f(x),故选方案B.

点评:在解决实际问题过程中,函数图象能够发挥很好的作用,因此,我们应当注意提高读图的能力.另外,本例题用到了分段函数,分段函数是刻画现实问题的重要模型.

例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型:

y=y0ert,

其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.

下表是1950~1959年我国的人口数据资料:

年份

1950

1951

1952

1953

1954

1955

1956

1957

1958

1959

人数/万人

55196

56300

57482

58796

60266

61456

62828

64563

65994

67207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;

(2)如果按表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿?

解:(1)设1951~1959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,…,r9.

由55196(1+r1)=56300,

可得1951年的人口增长率为r1≈0.020 0.

同理,可得r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈0.0250,r5≈0.0197,r6≈0.0223,r7≈0.0276,

r8≈0.0222,r9≈0.0184.

于是,1950~1959年期间,我国人口的年平均增长率为

r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.

令y0=55 196,则我国在1951~1959年期间的人口增长模型为

y=55 196e0.0221t,t∈N.

根据表中的数据作出散点图,并作出函数y=55 196e0.0221t(t∈N)的图象(图3-2-2-4).

图3-2-2-4

由图可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.

(2)将y=130000代入y=55 196e0.0221t,

由计算器可得t≈38.76.

所以,如果按表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.

变式训练

一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减.

(1)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式;

(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)

解:(1)最初的质量为500 g.

经过1年后,ω=500(1-10%)=500×0.91;

经过2年后,ω=500×0.9(1-10%)=500×0.92;

由此推知,t年后,ω=500×0.9t.

(2)解方程500×0.9t=250,则0.9t=0.5,

所以

即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.

知能训练

某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5 000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益.

(1)求1997年每台A型电脑的生产成本;

(2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:=2.236,=2.449)

活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导.

出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润.

解:(1)设1997年每台电脑的生产成本为x元,依题意,得

x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).

(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1-y)4=3200,

即1997年每台电脑的生产成本为3 200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%.

课堂小结

本节重点学习了函数模型的实例应用,包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等;另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系.

活动:学生先思考或讨论,再回答.教师提示、点拨,及时评价.

引导方法:从基本知识和基本技能两方面来总结.

作业

课本P107习题3.2A组5、6.

 

板书设计

 

 

 

 

 

 

 

 

教学反思

 

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