求矩阵的迹要化成上三角吗？
来源：高三网 2021-11-29 23:24:16
不需要。对矩阵进行初等变换时，特征值也发生了变化，所以化出来的上三角矩阵的特征值一般不是原矩阵的特征值。在线性代数中，一个n×n矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。
1求证上三角正规矩阵一定是对角阵
因为阶梯型矩阵的每行的第一个非零元的列号应该是依次递增的。
0 1 0
0 2 0
0 0 1
是上三角矩阵，但不是阶梯型矩阵，因为前两行的非零元的列号都为2
0 0 0
0 1 0
0 0 2
是对角矩阵，但零行在上面的确不一定是
2矩阵的迹性质
1.迹是所有主对角元素的和
2.迹是所有特征值的和
3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹
4.tr（mA+nB）=m tr（A）+n tr（B）
(2)奇异值分解（Singular value decomposition ）
奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*V
U和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。
如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。
SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。
(3)在数值分析中，由于数值计算误差，测量误差，噪声以及病态矩阵，零奇异值通常显示为很小的数目。
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